Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

3. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.
ПРЕДЕЛЫ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И
ФУНКЦИЙ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ
Так называемый, математический анализ – это центральный раздел курса высшей математики. При этом подразумева-
ется математический анализ поведения каких-либо функций. Дело в том, что именно на основе функций чаще всего строятся
математические модели различных процессов и явлений. И выявление имеющихся у функций такой модели свойств дает
информацию и о свойствах самого изучаемого процесса.
Прежде чем изучать основные методы математического анализа, необходимо усвоить целый ряд вспомогательных по-
нятий, чему и посвящена данная тема [1, 4].
3.1. Понятие числовой последовательности и их классификация
Важную роль в некоторых разделах математики играет следующее понятие.
Определение 3.1. Если каждому числу из бесконечного ряда чисел, называемого натуральным рядом: 1, 2, 3, … , n, …,
поставлено в соответствие некоторое действительное число
x
n
, то упорядоченная совокупность таких чисел x
1
, x
2
, …, x
n
, …,
называется
числовой последовательностью, или просто последовательностью. Числа ∞= ...,,1,ix
i
называются элементами
этой последовательности.
Определение 3.2. Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее i-го элемента.
Условно последовательность из элементов
∞
=
,...,1,ix
i
обозначают так: }{
i
x . Важно отметить, что в последовательно-
сти элементы являются упорядоченными, их нельзя произвольно менять местами.
Примером числовой последовательности может являться любой ряд каких-либо данных. Например, экономических,
упорядоченных, например, по времени. Пусть 23,5 тыс. р., 25,3 тыс. р., 29,0 тыс. р., 22,4 тыс. р. … – объемы продаж некото-
рого товара, начиная с первого числа какого-то месяца. Реальные примеры последовательностей имеют тот недостаток, что
фактически могут быть известными лишь конечное количество элементов. Однако формально это не противоречит опреде-
лению 3.2, если способ определения элементов все же определен.
В математике обычно изучаются последовательности, элементы которых можно задать в виде формулы, зависящей от
номера этого элемента, то есть от
n. Например,
,...,,2,1,
2
5
∞=
+
= n
n
x
n
то есть ....,
6
5
,1,
4
5
,
3
5
:x
Эту же последовательность можно записать так:
+
=
2
5
}{
n
x
n
. Такой способ определения последовательностей можно
считать упрощенным, но он вполне достаточен для целей математического анализа.
Важными являются следующие определения, вводящие различные свойства (характеристики) числовых последователь-
ностей. Соответственно эти свойства порождают классификацию последовательностей.
Определение 3.3. Последовательность {x
i
} называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M, что
все ее элементы удовлетворяют неравенству
Mx
n
≤
( Mx
n
≥ ).
В высшей математике, особенно в математическом анализе, широко используются так называемые предикаты, или кванто-
ры
, – это специальные символы, заменяющие часто встречающиеся слова и выражения. Например,
∃
– читается, как
существует, или найдется;
∀
–
любой, или для любого;
! –
единственный;
⇒
–
следовательно, или тогда выполняется;
: – –
такой, что;
⇔
–
равносильно, или тогда и только тогда, когда.
Предикаты позволяют резко сократить формулировки различных теорем и их доказательств. И упрощают (а не услож-
няют!) их восприятие. Например, используя язык кванторов, предыдущее определение можно записать так.
Определение 3.3а. }{
i
x называется ограниченной сверху, если
MxnM
n
≤⇒∀>∃ :0
.
Определение 3.4. Последовательность }{
i
x называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.
Пример.
а)
}{ n− – ограничена сверху, но не ограничена снизу, и поэтому не является ограниченной;
б)
n
1
– ограничена;
в) {(–1)
n
n} – не ограничена ни сверху, ни снизу.
Определение 3.5. Последовательность называется бесконечно малой (бесконечно большой), если для любого сколь
угодно малого число ε > 0 (сколь угодно большого M > 0), найдется такой номер N, что все последующие элементы этой по-
следовательности удовлетворяют неравенству
ε≤
n
x ( Mx
n
≥ ).

Страницы