Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1) 0
1
lim =
∞→
n
n
, 2) 2
1
2lim
2
=
+
∞→
n
n
.
Иногда используют другую, полностью эквивалентную первой, форму определения предела последовательности, кото-
рая дает данному понятию весьма хорошую геометрическую иллюстрацию.
Определение 3.12. Назовем ε – окрестностью (читается: «эпсилон-окрестность») точки a, принадлежащей действитель-
ной числовой оси –
1
Ra ∈ , интервал вида
)ε,ε(
+
−
aa .
Определение 3.13. (второе определение предела последовательности). Конечное число a называется пределом по-
следовательности {x
i
}, если для любого ε > 0 найдется такой номер N, начиная с которого все последующие элементы после-
довательности будут находиться в ε-окрест-ности точки a.
Очевидно, что неограниченная последовательность не имеет предела. Однако часто для простоты и сокращения формулиро-
вок формально говорят, что неограниченная последовательность имеет бесконечный предел, и пишут
∞
=
∞→
n
n
xlim
.
Например,
∞=
∞→
2
lim n
n
.
Следует запомнить, что в строгом смысле, под пределом всегда подразумевается конечное число. То есть если, напри-
мер, говорят, что последовательность имеет предел, то это означает, что данный предел конечен.
Справедливы теоремы.
Теорема 3.4. Если последовательность имеет предел, то он единственен.
Доказательство. Предположим, имеется два предела, то есть одновременно
ax
n
n
=
∞→
lim
и
bx
n
n
=
∞→
lim
, причем ba
≠
.
Тогда, по определению
NnN ≥
∀
∃
>
∀
:0ε ,
выполняется
2/ε<−
n
xa
и
2/ε<−
n
xb
.
Используя свойства модулей, отсюда получаем
ε2/ε2/ε =+=−+−<−+−=−
nnnn
xbxabxxaba .
То есть неравенство ε<− ba выполняется для любого ε > 0, а следовательно a = b. Что и требовалось доказать.
Теорема 3.5. Сходящаяся последовательность ограничена.
Теорема 3.6. Монотонно возрастающая или монотонно убывающая ограниченная последовательность сходится.
3.4. Теоремы о пределах последовательностей
Большинство задач по теории числовых последовательностей представляют собой задачи на нахождение пределов этих
последовательностей. Как следует из примера предыдущего пункта, часто пределы (если они существуют) находятся весьма
просто. Однако если элементы последовательности заданы достаточно сложными выражениями, то для формально строгого
построения соответствующих выкладок, очень важна следующая теорема. Эта теорема фактически содержит в себе несколько
утверждений, поэтому мы будем называть ее теоремами о пределах последовательностей.
Теорема 3.7. (теоремы о пределах последовательностей). Пусть имеются пределы
ax
n
→ и by
n
→ при
∞
→n
.
Тогда при соответствующих условиях предел суммы этих последовательностей равен сумме их пределов, предел разно-
сти – разности пределов, предел частного – частному пределов, предел произведения – произведению пределов и т.д. То
есть, при
∞→n :
а) bayxz
nnn
±→±= ;
б)
bayxz
nnn
→×= ;
в)
bayxz
nnn
// →= , если только 0≠b ;
г)
,
b
nn
a
y
xz
n
→= исключая случай 0== ba .
Не будем останавливаться на строгом доказательстве этого интуитивно понятного утверждения, оно рутинно и полно-
стью основано на определении предела числовой последовательности.
Укажем еще раз, что a и b в теореме 3.7 считаются конечными.
Пример. Найти предел, если он существует:
...
1
3
3
4
lim
2
5
2
3
=
+−
−
−
∞→
n
n
n
n
видим, что пределы всех составляющих этого выражения существуют и конечны, тогда по теоремам о пределах, получаем

Страницы