Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Например, последовательность из пункта а) предыдущего примера является бесконечно большой, из пункта б) – беско-
нечно малой.
Аналогичным образом можно ввести строгие математические определения монотонно возрастающей, монотонно убы-
вающей, невозрастающей и неубывающей последовательностей, однако, мы не будем этого делать, так как эти свойства дос-
таточно очевидны. Проделайте это самостоятельно, в качестве упражнения.
3.2. Арифметические действия над числовыми последовательностями
Над множеством числовых последовательностей определяются некоторые операции, а именно:
Определение 3.6. Последовательность {z
i
} называется суммой числовых последовательностей {x
i
} и {y
i
}, если
∞
=
+
=
...,,2,1, iyxz
iii
.
При этом пишут
}{}{}{
iii
yxz
+
=
.
Определение 3.7. Последовательность {z
i
} называется разностью числовых последовательностей {x
i
} и {y
i
}, если
∞
=
−
=
...,,2,1, iyxz
iii
.
При этом пишут
}{}{}{
iii
yxz
−
=
.
Определение 3.8. Последовательность {z
i
} называется произведением числовых последовательностей {x
i
} и {y
i
}, если
∞
=
=
...,,2,1, iyxz
iii
.
При этом пишут
}{}{}{
iii
yxz
=
.
Определение 3.9. Последовательность {z
i
} называется частным числовых последовательностей {x
i
} и {y
i
}, если
∞
=
=
...,,2,1, iyxz
iii
.
При этом пишут
}{}{}{
iii
yxz
=
.
Определение 3.10. Последовательность {z
i
} называется результатом возведения последовательности {x
i
} в степень {y
i
},
если
∞== ...,,2,1, ixz
i
y
ii
.
При этом пишут
}{
}{}{
i
y
ii
xz = .
Важными для понимания введенных понятий являются следующие несложные теоремы, доказательства которых можно
найти в учебниках [Красс].
Теорема 3.1. Сумма или разность двух бесконечно малых последовательностей (б.м.п.) является бесконечно малой по-
следовательностью (б.м.п.).
Теорема 3.2. Пусть {x
i
} и {y
i
}– б.м.п., тогда {z
i
} = {x
i
} {y
i
} – б.м.п.
Теорема 3.3. Произведение б.м.п. и ограниченной последовательности есть б.м.п.
Доказательство:
Пусть
}{
i
x – ограниченная, то есть
MxnM
n
≤
⇒
∀
>
∃
:0
. Пусть }{
i
y – б.м.п., тогда
M
xNnNM
n
ε
:0,0ε ≤⇒≥∀∃>>∀
. Но тогда, начиная с этого же номера N , выполняется
ε
ε
=≤=⇒≥∀ M
M
yxzNn
nnn
.
То есть {z
n
} = {x
n
} {y
n
} – б.м.п. Что и требовалось доказать.
3.3. Предел последовательности
Важнейшим понятием математики является понятие предела. Введем определение предела последовательности.
Определение 3.11. Конечное число a называется пределом последовательности {x
i
}, если
NnN ≥
∀
∃>∀ :0ε , выполняется ε<−
n
xa .
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, иначе расходящейся.
Если a есть предел последовательности {x
i
}, то это символически записывают так
ax
n
n
=
∞→
lim
.
При этом говорят, что последовательность {x
i
} сходится к a, или стремится к a, при n стремящемся к бесконечности.
Это записывают следующим образом
ax
n
→ , при
∞
→n
.
Пример. Достаточно очевидно, что

Страницы