Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

9
1
30
1
3lim
3
4
lim...
2
2
5
lim
2
3
−=−=
+−
−
=
−
−
∞→∞→
∞→
n
nn
n
n
n
.
3.5. Раскрытие неопределенностей. Замечательные пределы
В некоторых случаях, и при нарушении условий теорем о пределах, результат предельного перехода в том или ином
выражении вполне ясен. Например, вполне очевидно, что
.,,
0
,, ∞=∞∞=∞=∞=∞⋅∞∞=∞+∞
∞
a
a
Отметим, что эти выражения носят лишь формальный смысл, позволяя только коротко записать (обозначить, выразить)
соответствующий факт. Однако, их вполне допустимо использовать в записях решения соответствующих задач.
В некоторых же подобных случаях результат не ясен. Такие случаи называют неопределенностями, и выделяют сле-
дующие основные виды неопределенностей:
.0,1,,
0
0
,0,
0∞
∞
∞
⋅∞∞−∞
Оказывается во многих случаях этих неопределенностей, на самом деле существует вполне конкретный конечный предел.
Его нахождение, или выявление того, что конечного предела нет, называют раскрытием неопределенности. Именно задачи
на раскрытие неопределенностей и являются наиболее интересными и содержательными в теории пределов последователь-
ностей.
Раскрытие неопределенностей обычно возможно на основе использования:
1. Подходящих алгебраических преобразований исходного выражения, например:
а) a
nn
nn
n
=
−+
++
∞→
34
423
lim
2
2
.
Видим, что это неопределенность вида
∞
∞
. Применим очень часто используемый прием – деления числителя и знаме-
нателя на старшую степень, в данном случае на n
2
, получаем
2
2
/3/14
/4/23
lim
nn
nn
a
n
−+
++
=
∞→
.
Видим, что теперь можно использовать теоремы о пределах, то есть – записать искомый предел в виде
(
)
()
4
3
004
003
/3/14lim
/4/23lim
2
2
=
−+
++
=
−+
++
=
∞→
∞→
nn
nn
a
n
n
;
б)
(
)
212lim −−+=
∞→
nna
n
.
Видим, что это неопределенность вида ∞−∞ . Применим другой часто используемый прием – умножения и деления на
сопряженный множитель, в данном случае на
(
)
212 −++ nn , получаем
(
)
(
)
()
...
212
3
lim
212
212212
lim =
−++
+
=
−++
−++−−+
=
∞→∞→
nn
n
nn
nnnn
a
nn
,
теперь аналогично предыдущему пункту, делим числитель и знаменатель на n, тогда
∞==
−++
+
=
→∞
0
1
2112
31
lim...
22
nnnn
n
n
,
последние два равенства следует понимать условно. Отметим, что в этом примере мы не получили выражения, для которого
применимы теоремы о пределах. Однако неопределенность раскрыта, в том смысле, что результат в итоге преобразований
сделался ясным.
2. Так называемых замечательных пределов. Так называют несколько известных пределов, формально являющихся не-
определенностями, которые тем не менее раскрываются, в результате соответствующих, достаточно не простых, построений.
К ним относятся пределы.
Теорема 3.8 (первый замечательный предел).
1
1
sinlim =
⋅
∞→
n
n
n
.
Теорема 3.9 (второй замечательный предел).
e
n
n
n
=
+
∞→
1
1lim
,
где ...7182818284,2≈e – известная, часто встречающаяся, иррациональная константа, называемая экспонентой [щип].
Следствие 3.1 (третий замечательный предел).

Страницы