Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

).(eccos
;)sec(
;)(ctg
;)(tg
;)cos(
;)sin(
xy
xy
xy
xy
xy
xy
=
=
=
=
=
=
6.
Обратные тригонометрические:
).(arccosec
;)sec(arc
;)(arcctg
;)(arctg
;)arccos(
;)arcsin(
xy
xy
xy
xy
xy
xy
=
=
=
=
=
=
Существуют и другие функции, относящиеся к элементарным, которые, однако, встречаются весьма редко.
Определение 3.16. Функция f (x) называется суперпозицией функций g (z) и q (x), если f (x) = g (q (x)).
Аналитически заданные функции, не являющиеся элементарными, называются сложными и могут рассматриваться, как
результат суперпозиций и арифметических действий над элементарными функциями.
3.7. Предел функции в точке
Понятие предела функции в точке является одним из фундаментальных понятий математического анализа. На этом по-
нятии основаны самые важные определения, в частности, центрального понятия дифференциального исчисления – понятия
производной функции. Поэтому мы приведем сразу два эквивалентных [иль] определения предела, поясняющих его с различ-
ных сторон.
Определение 3.17 (предела функции по Гейне). Число a называется пределом функции y = f (x) в точке x
0
, если для
любой последовательности значений аргумента сходящейся к x
0
, соответствующая последовательность значений функции
сходится к a.
Определение 3.18 (предела функции по Коши). Число a называется пределом функции y = f (x) в точке x
0
, если для
любого числа ε > 0 найдется такое число δ > 0, что для всех x ∈ D
( f ) удовлетворяющих неравенству δ
0
<− xx выполняется
неравенство
ε)( <− axf .
При этом пишут
axf
xx
=
→
)(lim
0
,
или
axf →)( , при
0
xx → .
Используя математическую символику, это же определение можно записать так: a – предел )(xf в точке
0
xx
=
, если
ε)(δ::0δ0ε
0
<−⇒<−∀>∃>∀ axfxxx .
Во всех этих определениях два обстоятельства являются самыми важными:
1)
то, что значение x
0
может и не принадлежать области определения функции. То есть в самой этой точке значения
функции может и не существовать, а предел может существовать, – в этом заключена большая гибкость введенного понятия,
дающая возможность решать задачи неразрешимые нематематическими методами. В понятии предельного перехода заклю-
чена вся суть дифференциального исчисления функций;
2)
то, что аргумент x может, стремясь к x
0
, каким угодно образом «приближаться» к этому значению. И если независи-
мо от способа приближения аргумента к x
0
результат остается тем же самым, то предел действительно существует.
Как и в случае предела последовательности, в строгом смысле, под пределом функции в точке подразумевается конеч-
ное число. Однако часто, для упрощения, пользуются понятием бесконечного предела, и соответствующими обозначениями:
∞
=
→
)(lim
0
xf
xx
;
axf
x
=
∞→
)(lim
.
Как и в случае предела последовательности, часто нахождение пределов значений функции в точке не вызывает затруд-
нений.
Пример.
1.
(
)
51lim
2
2
=+
→
x
x
; 2. 5
2
1
lim
2
3
=
+
−→
x
x
.
Для пределов функций справедливы теоремы, абсолютно аналогичные теоремам о пределах последовательностей. Они
также используются для формально строгого решения задач на нахождение пределов, в случае достаточно сложных выраже-
ний.
Теорема 3.10 (теоремы о пределах функций). Пусть существуют пределы
()
axf → и
(
)
bxg → при
0
xx → .
Тогда при соответствующих условиях, предел суммы этих функций равен сумме их пределов, предел разности – разно-
сти пределов, предел частного – частному пределов, предел произведения – произведению пределов и т.д., то есть, при
0
xx → :
а)
() () ()
baxgxfxq ±→±= ;
б)
() () ()
baxgxfxq ×→×= ;
в)
()
()
()
b
a
xg
xf
xq →=
, если только
0≠b
;

Страницы