Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

;
3
1
3
109
3
10
lim
2
03
−=
−
=
−
−→
x
x
(
)
3,098.2)3ln(2)ln(lim
03
≈
+
=
+
+→
x
x
Для наглядности построим график этой функции на интервале x ∈ [–10, 10] (рис. 3.1).
Рис. 3.1
Выколотая точка на этом графике необходима, чтобы подчеркнуть необходимый факт, следующий из определения по-
нятия функции. А именно, что функция есть однозначное сопоставление значению аргумента – значения функции. Задача ре-
шена.
С односторонним пределом связано следующее важнейшее понятие.
Определение 3.20 (непрерывность функции). Функция f (x) называется непрерывной в т. x
0
, если оба ее односторонних
предела в этой точке равны, то есть
)(lim)(lim
00
xfxf
xxxx −→+→
=
.
Точку
0
x при этом называют точкой непрерывности функции f (x).
Определение 3.21 (точек разрыва функции). Если x
0
∈ D (f) и не является точкой непрерывности функции f (x), то ее на-
зывают точкой разрыва этой функции. Причем, если оба односторонних предела функции в этой точке не равны и конечны, то
она называется точкой разрыва I-го рода. Если хотя бы один из этих односторонних пределов бесконечен, то – точкой разрыва
II-го рода.
Функция, график которой приведен на рис. 3.2, является разрывной в точке x
0
и является непрерывной, например, в точке x
1
. На
рис. 3.3 приведен пример графика функции, имеющей разрыв II-го рода. Это обычная гипербола.
Пример. Функция, рассмотренная в предыдущем примере, непрерывна в точке 5
−
=
x и имеет разрыв I-го рода в точке
3=x .
3.9. Определение производной функции
Перейдем к определению одного из важнейших в высшей математике понятий.
Определение 3.22. Производной функции f (x) в точке x
0
∈ D (f) называется предел, если он существует:
x
xfxxf
a
x
∆
−∆+
=
→∆
)()(
lim
00
0
,
где ∆ x называют приращением аргумента.
Иными словам, производная функции в точке – это предел отношения приращения значения функции в этой точке к
приращению аргумента ∆
x, при стремлении последнего к нулю.
5
0
–
5
–
10 –5 0 5 10
Y
Y
0
X
Xx
1
0
2
3
Рис. 3.3
Рис. 3.2

Страницы