Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Несложно понять, что значение производной функции
(
)
xf зависит от точки
0
x , в которой она рассчитывается, то есть
производная сама является функцией аргумента
x
, и как функцию аргумента
x
, ее обозначают
()
xf
′
. В случае, когда име-
ется необходимость указать, по какому именно аргументу ведется дифференцирование, – пишут )(xf
x
′
или
x
y
′
.
Определение 3.23. Нахождение производной функции называется операцией дифференцирования, или просто диффе-
ренцированием.
Определение 3.24. Функция f (x) называется дифференцируемой в точке x
0
, если она имеет в этой точке производную.
Функция f
(x) называется дифференцируемой на отрезке
[
]
1
, Rba ∈ , если она имеет производную в любой точке этого отрез-
ка.
Теорема 3.13. (Необходимое условие дифференцируемости функции.) Если f (x) дифференцируема в точке х
0
, то она не-
прерывна в этой точке.
Доказательство. Очевидно, что дробь может стремиться к конечному числу, при стремящемся к нулю знаменателе,
только если и числитель стремится к нулю.
Важно заметить, что предел в определении производной содержит неопределенность и именно вида
0
0
. Однако, как мы
знаем, часто такие неопределенности в действительности являются вполне конкретным конечным числом. Таким образом,
для нахождения производной некоторой функции f
(x) следует раскрыть соответствующую неопределенность. Если функция
f
(x) задана сколько-нибудь сложным выражением, то необходимые преобразования могут оказаться трудновыполнимыми,
или совсем невыполнимыми. Однако, если f
(x) достаточно простая функция, то они вполне осуществимы. И соответствую-
щие задачи являются очень полезными для усвоения этого важнейшего, только что определенного, понятия производной
функции.
Пример. Найти
()
xf
′
, если:
1.
()
xxxf 2
2
+= . По определению производной, необходимо найти предел
()()
(
)
=
∆
∆+∆+∆
=
∆
+−∆++∆+
=
→∆→∆
x
xxxx
x
xxxxxx
a
xx
2
0
2
2
0
22
lim
22
lim
(
)
2222lim
0
+
=
∆
+
+
=
→∆
xxx
x
.
Таким образом, 22)( +=
′
xxf .
2. Найти производную функции f (x) = sin (x).
Находим
=
∆
−∆+∆
=
∆
−∆+
→∆→∆
x
xxxxx
x
xxx
xx
)sin()sin()cos()cos()sin(
lim
)sin()sin(
lim
00
).cos(0
)sin(
lim)cos(
1)cos(
lim)sin(
00
x
x
x
x
x
x
x
xx
+=
∆
∆
+
∆
−
∆
=
→∆→∆
Таким образом,
()
).cos()sin( xx =
′
Вопросы для самопроверки
1. Приведите примеры числовых последовательностей реальных данных, для которых применимы операции сложе-
ния, вычитания, умножения на число и возведения в степень.
2.
Приведите пример числовой последовательности реальных данных, которая является бесконечно малой последова-
тельностью.
3.
Приведите пример числовой последовательности реальных данных, которая является бесконечно большой последо-
вательностью.
4.
Приведите пример числовой последовательности реальных данных, которая является сходящейся последовательно-
стью.
5.
Дайте формально строгое определение знакочередующейся, не возрастающей последовательностей. Приведите
примеры.
6.
Какие вы знаете случаи неопределенностей? Сколько их?
7.
Какие вы знаете случаи нарушения условий теорем о пределах, которые не являются неопределенностями?
8.
Чем отличаются и в чем схожи определения пределов последовательностей и функций?
9.
Приведите примеры функций из практики.
10.
Какие вы знаете замечательные пределы?
11.
Неопределенность, какого типа содержится в определении производной функции?

Страницы