Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

4. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
4.1. Физический и геометрический смысл производной
Физический смысл производной функции f (x) в точке х
0
состоит в том, что она выражает скорость роста функции в
этой точке. Действительно, отношение приращения значения функции приращению аргумента можно уподобить отношению
пройденного расстояния к промежутку времени, за которое это было сделано, то есть – скорости.
Заметим, однако, что при рассмотрении движения некоторого материального тела, путем деления
расстояния на время можно найти лишь «среднюю» скорость за этот промежуток времени. В то время
как производная дает «мгновенную» скорость, то есть скорость в каждой точке. Например, для линей-
ной функции
baxxf
+
=
)( ,
где a – некоторая постоянная, скорость роста которой очевидна постоянна; с помощью определения производной несложно
установить, что
axf
=
′
)( .
Геометрический смысл производной функции f (x) в точке х
0
заключается в том, что она численно равна тангенсу угла
наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке, относительно положительного направления оси абсцисс.
Геометрический смысл производной напрямую следует из определения производной и основных тригонометрических соот-
ношений.
Действительно, рассмотрим чертеж (рис. 4.1). В соответствии с известным тригонометрическим соотношением имеем
()
BC
AC
=αtg
или
()
x
f
∆
∆
=αtg .
Ясно, что при 0→∆x секущая переходит в касательную, а значит
(
)
(
)
βtgαtglim
0
=
→∆x
,
а это и значит, что
() ()
βtglim
0
0
=
′
=
∆
∆
→∆
xf
x
f
x
.
Рис. 4.1
Физический и геометрический смысл производной чрезвычайно важны как для общего понимания производной, так и
для понимания и обоснования целого ряда важнейших фактов дифференциального исчисления.
Например, отталкиваясь от геометрического смысла производной, можно прийти к следующему важному утверждению.
Теорема 4.1 (достаточное условие дифференцируемости функции в точке). Если f (x) в точке х
0
ограничена и имеет
определяемую единственным образом касательную к своему графику в этой точке, то она дифференцируема в х
0
.
Например, к графику функции модуля y = |x| в точке x = 0 можно провести сколько угодно касательных, поэтому в этой
точке данная функция не дифференцируема, хотя и непрерывна. Дифференцируемые функции очень часто называют гладкими,
что полностью соотносится со сказанным.
Следующие две теоремы, которые относятся к основным теоремам дифференциального исчисления, также связаны с
геометрическим смыслом производной и хорошо иллюстрируют это понятие.
Теорема 4.2 (Лагранжа). Пусть на отрезке [a, b] определена функция f (x), причем f (x) непрерывна на [a, b], и диффе-
ренцируема на (a, b). Тогда существует точка c ∈ (a, b) такая, что справедлива формула
)(
)()(
cf
ab
afbf
′
=
−
−
.

Страницы