Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

+− 3
6
5
6
5
,
6
5
и
+− 3
6
5
6
5
,
6
5
.
4.3. Методика дифференцирования сложной функции
Как уже указывалось в предыдущей теме, находить производные сложных функций, используя только определение,
крайне затруднительно. Поэтому на самом деле для этого используется совсем другая, специальная методика, основанная на
следующих трех моментах:
1. Использование так называемых табличных производных [5], в основном это производные элементарных функций. К
табличным относят, например, производные функций:
1)
()
0=
′
c , где c – некоторая постоянная константа (c = const);
2)
()
1αα
α
−
=
′
xx ;
3)
()
),cos()sin( xx =
′
()
)sin()cos( xx −=
′
;
4)
()
),ln(xaa
xx
=
′
в частности
()
xx
ee =
′
;
5)
()
,
)ln(
1
)(log
ax
x
a
=
′
в частности
()
x
x
1
)ln( =
′
;
6)
()
,
cos
1
)(tg
2
x
x =
′
()
x
x
2
sin
1
)(ctg −=
′
;
7)
()
,
1
1
)arcsin(
2
x
x
−
=
′
()
,
1
1
)arccos(
2
x
x
−
−
=
′
при 1<x ;
8)
()
,
1
1
)(arctg
2
x
x
+
=
′
()
.
1
1
)(arcctg
2
x
x
+
−=
′
2. Использование свойств операции дифференцирования:
1)
()
VUVU
′
±
′
=
′
± , где
() ()
xVxU , – дифференцируемые на некотором множестве функции;
2)
()
UVVUVU
′
+
′
=
′
– правило дифференцирования произведения двух функций, в частности
()
VCVC
′
=
′
, где C –
любая константа;
3)
2
V
UVVU
V
U
′
−
′
=
′
– правило дифференцирования отношения двух функций, в частности
2
1
V
V
V
′
−=
′
.
Все эти свойства весьма несложно выводятся из определения производной.
3.
Правило дифференцирования сложной функции. Справедлива теорема.
Теорема 4.4 (правило дифференцирования сложной функции). Пусть
(
)
⋅
f суперпозиция дифференцируемых функ-
ций
()
⋅g и
()
⋅u , то есть
(
)
(
)
(
)
xugxf
=
,
тогда
xux
ugf
′′
=
′
.
Напомним, что с помощью нижних индексов обозначают переменную, по которой ведется дифференцирование.
Следствие 4.1. Пусть
() ()()()()()
xpzqugxf = , тогда
xpzqux
pzqugf
′′′′′
=
′
.
Иначе говоря, сколько бы не было, как их называют, вложенных функций, всегда можно найти производную функции
по ее аргументу.
Дифференцирование сложных функций вначале требует правильно установить порядок вложенности элементарных
функций. На первых порах полезным может оказаться даже использование скобок, для выражения структуры этой вложен-
ности. Впоследствии навык дифференцирования позволит отказаться от этого и легко находить производные самых слож-
ных выражений.
Пример. Рассмотрим функцию
()
(
)
(
)
xtgxxf 5ln7sin
5.634 −
−=
.
Решение. Формульное выражение этой функции достаточно сложно. Однако, как и всегда, она состоит из известных
элементарных функций. Действительно, например, первое слагаемое представляет собой четвертую степень синуса, взятого
от переменной величины
х, возведенной в третью степень. Второе же слагаемое есть тангенс, возведенный в степень (–6,5),
от логарифма пяти
х, и умноженный на (–7). Найдем производную этой функции.
Пользуясь теоремой 4.4 и таблицей производных можно записать

Страницы