Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1
1
1
1
)cos(
lim
)(nsi
lim
)sin(
lim
000
===
′
′
=
→→→
x
x
x
x
x
xxx
.
Правило Лопиталя, таким образом, оказывается очень эффективным средством раскрытия неопределенностей вида
0
0
.
Правило Лопиталя также справедливо и если
∞
=
=
→→
)(lim)(lim xgxf
axax
,
то есть может использоваться и для раскрытия неопределенностей вида
∞
∞
.
Пример. 0
1
lim
1
/1
lim
)ln(
lim ===
+∞→+∞→+∞→
x
x
x
x
xxx
.
4.6. Монотонность функции. Достаточное условие монотонности
Определение 4.2. Функция f (x) называется монотонно возрастающей (монотонно убывающей) на отрезке [a, b], если
для любых
x
1
, x
2
∈ [a, b] имеет место неравенство
f (x
1
) ≤ f(x
2
), если x
1
≤ x
2
; (f (x
1
) ≥ f (x
2
), если x
1
≥ x
2
).
При решении задач исследования различных зависимостей бывает необходимо установить, на каких интервалах число-
вой прямой функция возрастает, а на каких убывает. Сделать это, анализируя формульную запись функции, бывает затруд-
нительно или даже, практически, невозможно. Следующая простая теорема позволяет установить искомые интервалы, ана-
лизируя лишь знак производной исследуемой функции.
Теорема 4.6 (достаточное условие монотонности). Функция монотонно возрастает (монотонно убывает) на отрезке [a,
b], если
)(xf
′
> 0 ( )(xf
′
< 0),
для любого
x
1
∈ [a, b].
Для того чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, достаточно вспомнить физиче-
ский смысл производной (рис. 4.3).
Рис. 4.3
Пример. Найдем интервалы возрастания и убывания функции
196)(
23
++−= xxxxf .
Находим ее производную и приравниваем ее к нулю
196)(
23
++−= xxxxf ,
корни этого уравнения .3,1
21
== xx
Несложно видеть, что:
• 0)( >
′
xf при ),3()1,( +∞∪−∞∈x – функция возрастает;
• 0)( <
′
xf при )3,1(∈x – функция убывает.
График именно этой функции показан на рис. 4.3.
4.7. Экстремумы функций. Необходимое условие экстремума
Основной задачей прикладной математики является построение, так называемых, математических моделей различных
процессов и объектов. Как правило, математическая модель представляет собой функцию, выражающую некоторый наибо-
лее важный показатель качества протекания процесса через значения каких-то других его параметров. Причем, эти парамет-
f
′
(x) > 0
f
′
(x) > 0 f
′
(x)
<
0
0 1 2 3 4
5
4
3
2
1

Страницы