Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ры являются обычно управляемыми, то есть их значения могут выбираться по желанию. Основными целями построения ма-
тематических моделей являются:
1)
прогноз поведения процесса при тех или иных значениях его управляемых параметров;
2)
оптимизация процесса, то есть нахождение таких значений этих параметров, при которых показатель качества дос-
тигает наилучшего возможного значения, то есть максимально возможного или минимально возможного.
Важнейшее значение в математике, в частности в связи с оптимизацией процессов, имеет сле-
дующее понятие.
Определение 4.3. Точка
()
fDx ∈
0
называется точкой максимума (минимума) функции
()
xf , если существует ε-
окрестность этой точки, такая что для любого лежащего в ней значения
x
выполняется
()
(
)
0
xfxf
<
;
(
)
(
)
(
)
0
xfxf > .
Определение 4.4. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума этой функции.
В общем случае такие зависимости являются функциями нескольких переменных. Сейчас мы рас-
сматриваем только более простой случай функции одной переменной.
Следующая теорема является одной из важнейших теорем математики, так как дает эффективный
способ нахождения точек экстремума функции.
Теорема 4.7 (необходимое условие экстремума функции – теорема Ферма). Если в точке х
0
функция
(
)
xf имеет
экстремум, то производная этой функции в этой точке равна нулю, то есть
(
)
0
0
=
′
xf . (4.3)
Определение 4.5. Точки, в которых выполняется условие
(
)
0
0
=
′
xf ,
называются критическими точками функции
()
xf .
Для того чтобы убедиться в справедливости утверждения 4.7, рассмотрим рис. 4.4.
Рис. 4.4
Исходя из физического смысла производной, можно понять, что поскольку при переходе через точку экстремума про-
изводная функции меняет знак, то в самой этой точке она должна быть равна нулю. В точке экстремума функция как бы ос-
танавливается, и мгновенная скорость ее роста равна нулю. Поэтому критические точки часто называют также
стационар-
ными
.
Далее очевидно, что касательные к графику функции в точках экстремума будут параллельны оси
OX. Вспомнив гео-
метрический смысл производной, вновь убеждаемся в справедливости этой теоремы.
Итак, для того чтобы найти все стационарные точки некоторой функции
(
)
xf , необходимо найти все корни уравнения
(
)
0
=
′
xf .
Пример.
1. В предыдущем примере были найдены критические (стационарные) точки функции
196)(
23
++−= xxxxf .
2. Рассмотрим параболу
y = (x – 2)
2
+ 1.
Находим ее производную
y
′
= 2(x – 2) = 2x – 4.
Видим, что 0=
′
y при 2=x , то есть 2=x – стационарная точка. На рис. 4.5 приведен график этой параболы, из кото-
рого видим, что
2=x действительно точка экстремума, конкретно – точка минимума.
Очень важно понять, что теорема 4.7 дает только необходимое, но не достаточное условие экстремума.
f
′
(x) > 0
f
′
(x) > 0
f
′
(x) < 0
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4
касательная
касательная

Страницы