Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Определение 4.6. Критические точки функции
(
)
xf , не являющиеся точками экстремума, называются ее точками пе-
региба
.
То есть некоторая точка
0
x может быть стационарной, но не быть экстремумом. Например, на рис. 4.6 приведен график
функции
(
)
11
3
+−= xy ,
производная которой в точке 1=x равна нулю, поскольку
(
)
2
13 −=
′
xy .
Однако видим, что при 1=x никакого экстремума нет, то есть это точка перегиба.
Название – точка перегиба, легко объясняется характером поведения графика функции в окрест-
ности такой точки.
4.8. Выпуклость, вогнутость. Условие выпуклости и вогнутости
Задача исследования поведения функции подразумевает выявление различных особенностей ее
поведения на тех или иных интервалах числовой оси.
Определение 4.7. Говорят, что функция f (x) выпукла (вогнута) на интервале
(
)()
fDba ∈, , если все точки графика
функции на этом интервале лежат ниже (выше) любой касательной, проведенной к этому графику на этом интервале.
Рис. 4.7
Определение 4.7 иллюстрируется на рис. 4.7. На интервале
(
)
ba, функция выпукла, на интервале
()
cb, вогнута. Это по-
казывают две проведенные к графику касательные.
Определение 4.8. Второй производной функции называется производная ее первой производной.
Вторая производная функции
()
xf обозначается
(
)
xf
′
′
.
В соответствии с физическим смыслом первой производной, можно заметить, что вторая производная выражает ско-
рость изменения скорости роста функции, то есть – ускорение. Говорят, что в этом состоит физический смысл второй произ-
водной.
Справедлива теорема.
Теорема 4.8 (достаточное условие выпуклости, вогнутости). Если на интервале (a, b) имеет место условие
)(xf
′
′
<0 ( )(xf
′
′
>0),
то функция
()
xf выпукла (вогнута) на этом отрезке.
Таким образом, для того, чтобы установить, на каких интервалах числовой оси функция выпукла, а на каких вогнута,
следует установить интервалы знакопостоянства второй производной этой функции.
Пример. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции
0 a b c X
Y
Рис. 4.5 Рис. 4.6
Y
X
1
2
Y
X
1
1
0
0

Страницы