Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

5. Среди всех найденных значений, с учетом возможного наличия точек разрыва II-го рода, выделить искомые наи-
большее и наименьшее значения.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
(
)
(
)
32
2
+−= xxf , на отрезке [–2, 5].
Решение.
1.
Решив уравнение
()
(
)
022 =−=
′
xxf , получаем, что единственной критической точкой является 2=x . Точек разры-
ва функция не имеет.
2.
Поскольку
()
22 =
′′
f , то есть вторая производная исследуемой функции положительна на всей числовой прямой, то в
найденной критической точке имеется
локальный минимум
(
)
32
=
f .
3.
Находим значения функции в концах отрезка f (–2) = 19, f (5)=12.
4.
Таким образом, получаем, что наименьшее значение достигается в точке 2
=
x и оно равно 3, а наибольшее в точке
2−=x и оно равно 19. Это можно записать следующим образом:
3)(min
]5,2[
=
−∈
xf
x
; 19)(max
]5,2[
=
−∈
xf
x
.
4.11. Асимптоты функции
Одной из характеристик поведения функции является наличие у нее так называемых асимптот. Асимптота – это пря-
мая, которая приближается как угодно близко к графику функции, либо при неограниченном возрастании значения функции,
либо при неограниченном возрастании аргумента. Различают следующие три вида асимптот.
Определение 4.10. Прямая ay
=
называется горизонтальной асимптотой функции
(
)
xf , если
(
)
axf
x
=
±∞→
lim
.
Определение 4.11. Прямая
0
xx
=
называется вертикальной асимптотой функции
(
)
xf , если
(
)
±
∞
=
→
xf
xx
0
lim .
Определение 4.12. Прямая bxay +
=
называется наклонной асимптотой функции
(
)
xf , если
(
)
0lim =
+
±∞→
bxa
xf
x
.
В этих определениях подразумевается наличие хотя бы одного соответствующего предела, либо при −∞ , либо при
+
∞ .
Отметим еще, что:
1)
вертикальные асимптоты фактически соответствуют точкам разрыва II-го рода;
2)
если имеется наклонная асимптота, то ее угловой коэффициент наклона определяется пределом
(
)
a
x
xf
x
=
±∞→
lim ,
если этого предела не существует, или он равен нулю, то наклонной асимптоты нет. Далее неизвестный коэффициент b на-
ходится как предел
(
)
[
]
bxaxf
x
=
−
±∞→
lim
;
3) горизонтальную асимптоту можно рассматривать как частный случай наклонной.
Рис. 4.8 Рис. 4.9
0
y = x + 2
Y
0
3
2

Страницы