Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Пример. Найти асимптоты функций:
1.
()
()
3
2
1
2
+
−
=
x
xf , ее график приведен на рис. 4.8, видим что
а)
2=x – точка разрыва II-го рода и соответственно вертикальная асимптота;
б)
()
03
2
1
lim
2
=
+
−
±∞→
x
x
, то есть прямая
3
=
y
– горизонтальная асимптота;
в) наклонных асимптот нет;
2.
()
x
xx
xf
12
2
−+
=
, ее график приведен на рис. 4.9, видим что:
а)
0=x – точка разрыва II-го рода и соответственно вертикальная асимптота;
б)
±∞=
−+
±∞→
x
xx
x
12
lim
2
, то есть горизонтальных асимптот нет;
в) находим
1
12
lim
2
==
−+
±∞→
a
x
x
xx
x
; 21
12
lim
2
==
−
−+
±∞→
bx
x
xx
x
,
то есть 2+= xy – наклонная асимптота.
4.12. Общий план исследования функции и построение ее графика
Задача исследования поведения аналитически заданной функции на всей числовой оси R
1
является классической зада-
чей математического анализа. Такое исследование принято проводить в соответствии с некоторой стандартной схемой. В
различных учебниках перечень этапов этой схемы может несколько различаться, однако, как правило, он включает следую-
щие пункты.
Общий план исследования функции:
1.
Нахождение области определения функции и точек разрыва I-го и II-го рода.
2.
Определение является ли функция четной или нечетной.
Определение 4.13. Функция f (x) называется четной (нечетной), если для любого x ∈ D (f) имеет место равенство
()
(
)
xfxf
=
− ;
(
)
(
)
(
)
xfxf
−
=
−
.
3.
Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат.
4.
Нахождение интервалов возрастания и убывания функции, точек экстремума, а также экстремальных значений
функции.
5.
Нахождение интервалов вогнутости и выпуклости функции.
6.
Нахождение асимптот функции.
7.
Построение графика функции.
Пример. Исследовать функцию
()
2
1
2
−
+
=
x
x
y
и построить ее график.
1. Функция существует на всей числовой оси, кроме точки
x = 2, где она имеет разрыв II-го рода, так как
(
)
±∞=
−
+
→
2
1
lim
2
2
x
x
x
.
2. Функция не является четной или нечетной.
3. Находим точки пересечения графика функции с осями:
• при 0=x получаем
2
1
−=y
, то есть точка
−
2
1
,0
– точка пересечения с осью ОY;
• при y = 0 получаем x = –1, то есть точка (–1, 0) – точка пересечения с осью ОХ.
4. Для нахождения интервалов возрастания (убывания) функции и точек экстремума находим первую производную
функции
()
(
)
(
)
()
(
)
(
)
()
22
2
2
51
2
1212
−
−+
=
−
+−−+
=
′
x
xx
x
xxx
y
.
Сразу видим, что x = –1 и x = 5 – критические точки. Результаты исследования знака производной и соответствующие вы-
воды занесем в табл. 4.1.

Страницы