Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

где V– объем чистой прибыли от продажи некоторого товара; p – цена единицы товара; α – расходы на рекламу.
Определение 4.14. Функцией f от n переменных называется закон, по которому однозначно сопоставляется каждому
вектору
=
n
x
x
x
M
1
, из некоторого допустимого множества D (f) ⊂ R
n
, называемого областью определения этой функции, неко-
торое число
y ∈ R
1
, называемое значением функции. При этом пишут
(
)
n
xxxfy ,,,
21
L
=
.
Как видим, принципиальных отличий это определение от определения функции одной переменной не имеет. Часто, для
уменьшения использования индексов, каждую координату многомерного аргумента обозначают отдельной буквой. Напри-
мер,
f (x, y, z) – функция трех аргументов. Однако такой способ удобен, если аргументов не слишком много.
Формально, существуют те же способы задания (определения) функции нескольких переменных, что были указаны и
ранее. Однако возможности применения табличного и графического способов еще более ограничены. Действительно, на-
пример, графический способ совсем не применим при числе аргументов три и более. Для двух переменных – можно изобра-
зить лишь «плоский портрет» соответствующей поверхности, что, впрочем, довольно часто используется.
Дополнительных ограничений в применении аналитического способа задания не существует. При этом могут использо-
ваться те же элементарные функции, что были перечислены выше. Например,
+−
+
−
=
2
tg
8
sin
5
3
2
uzx
xu
z
zx
y
и так далее.
Вообще, с точки зрения математической теории фактически нет разницы между функциями двух и более переменных.
Но все же смысл ряда фактов оказывается более четко выражен, когда они сформулированы для случая функций трех или
более переменных. Поэтому ниже все основные определения и теоремы мы будем рассматривать на примере функции трех
переменных
f (x, y, z).
4.14. Производная функции нескольких переменных
Для функций от нескольких переменных требуется соответствующим образом переписать определение производной.
Определение 4.15. Производной функции u = f (x, y, z) по переменной x в точке M (x
0
, y
0
, z
0
) D (f) ⊂ R
n
называется предел
(если он существует)
x
zyxfzyxxf
x
∆
−∆+
→∆
),,(),,(
lim
000000
0
,
где x∆ – по-прежнему называется приращением аргумента.
Аналогично вводятся определения производных f (x, y, z) по y и z.
Таким образом, функция многих переменных может иметь производные (если она дифференцируема) по каждой из пе-
ременных по отдельности. При этом их называют
частными производными.
Поскольку теперь имеется необходимость указывать, по какому именно аргументу ведется дифференцирование, то все-
гда пишут –
),,( zyxf
x
′
, или
x
u
′
, или
z
f
′
. И, как отношение дифференциалов, частная производная обозначается несколько
иначе:
),,( zyxf
x
f
x
′
=
∂
∂
.
Важнейшим следствием из определения 4.15 является то, что при нахождении частной производной, по какой-либо пе-
ременной, остальные переменные должны считаться
не изменяющимися постоянными (то есть они рассматриваются, как
константы). Отсюда становится понятной процедура нахождения частных производных, в основе которой лежат совершенно
те же приемы, что и в случае одной переменной.
Пример. Найти все частные производные первого порядка функции
)2cos()ln(),,(
2
32
−++= x
y
z
yzyxzyxf .
Решение. Находим, что
)2sin(2
2
3
−−=
∂
∂
x
y
z
xy
x
f
;
)2cos(3
2
2
22
−−+=
∂
∂
x
y
z
y
z
yx
y
f
; )2cos(2)ln( −+=
∂
∂
x
y
z
y
z
f
.
Поскольку любая частная производная, сама является функцией тех же нескольких переменных, то ее также можно
дифференцировать. При этом будут получаться, так называемые, частные производные
высших порядков. Например, частная
производная второго порядка по
x обозначается как

Страницы