Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В общем случае такая система является нелинейной. А мы знаем, что регулярных методов решения нелинейных систем
уравнений не существует. Однако в частных случаях такие системы решаются иногда даже аналитически. И всегда весьма
эффективны численные методы.
Пример. Найти критические точки функции
zxxyzyxu 2
222
−+−++= .
Решение. Имеем систему необходимых условий экстремума
=−=
∂
∂
=−=
∂
∂
=+−=
∂
∂
.022
;02
;012
z
z
u
xy
y
u
yx
x
u
В данном случае эта система получается линейной, поэтому легко решается. Ее единственное решение
3
2
−=x
;
3
1
−=y
; 1
=
z
.
При этом значение функции
3
4
1,
3
1
,
3
2
−=
−−u
.
Как и ранее, полученные тем или иным образом критические точки еще необходимо проверить на действительное на-
личие в них экстремума. Чтобы сформулировать и обосновать соответствующее достаточное условие, ознакомимся с неко-
торыми вспомогательными фактами.
4.16. Формула Тейлора
Весьма значим, особенно для технических приложений, следующий факт.
Теорема 4.13 (теорема Тейлора). Пусть функция f (x) имеет в точке a и некоторой ее окрестности все производные до
порядка
n + 1 включительно. Пусть x – любое значение аргумента из указанной окрестности, x ≠ a. Тогда между точками a и x
найдется такая точка
ξ, что справедлива следующая формула (формула Тейлора)
.)(
)!1(
)(
)(
!
)(
....
...)(
!2
)(
)(
!1
)(
)()(
1
)1()(
2
+
+
−
+
ξ
+−+
+−
′
′
+−
′
+=
n
n
n
n
ax
n
f
ax
n
af
ax
af
ax
af
afxf
Последнее слагаемое в этом равенстве, называемое остаточным членом разложения Тейлора, при 0→
−
=
∆
axx ,
очень быстро убывает до нуля. Таким образом, формула Тейлора говорит о том, что в окрестности любой точки любую
функцию (удовлетворяющую соответствующим условиям) можно приближенно заменить некоторым многочленом по степе-
ням
x∆ . В действительности оказывается, что если в окрестности некоторой точки a функция является аналитической (то
есть бесконечное количество раз непрерывно дифференцируемой), то она в этой окрестности раскладывается в бесконечный
сходящийся ряд по степеням
axx −=∆ , называемый рядом Тейлора. В справочниках по высшей математике можно найти
много разложений в ряд Тейлора часто встречающихся функций.
Это разложение можно сопоставить с разложением вектора по некоторому базису. Элементами базиса здесь являются сте-
пени
()
n
ax − . Однако, количество элементов базиса при этом, как мы понимаем, оказывается бесконечным. Это свидетельству-
ет о важном, известном в математике, факте, что пространство функций является бесконечномерным пространством.
Аналогично, справедлива формула Тейлора и для функции нескольких переменных. В нижеследующей формулировке
использованы символы оператора дифференцирования
x∂
∂
и т.д. Этот символ означает, например, следующее:
m
m
m
x
f
f
x
∂
∂
=
∂
∂
,
аналогично и для смешанных производных.
Теорема 4.14 (формула Тейлора для функции нескольких переменных). Пусть функция )(xf имеет в точке
),,(
000
zyxa = , и некоторой ее окрестности, все производные до порядка 1
+
m включительно. Пусть ),,( zyx – любое значе-
ние аргумента из указанной окрестности,
azyx ≠),,( . Тогда найдется такое значение 1θ0 <
≤
, что

Страницы