Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

),,(
2
2
zyxf
x
f
xx
′′
=
∂
∂
.
Если дифференцирование ведется по различным переменным, то соответствующие производные называются смешан-
ными частными производными
. Смешанная производная второго порядка по x и y обозначается, как
),,(
2
zyxf
yx
f
xy
′′
=
∂∂
∂
.
Большое значение имеет следующая теорема.
Теорема 4.11 (о равенстве смешанных производных). Если функция ),,( zyxfu
=
и ее частные производные
x
f
′
,
y
f
′
,
xy
f
′′
,
yx
f
′′
определены и непрерывны в точке ),,(
000
zyxM и в некоторой ее окрестности, то в этой точке
xy
f
′
′
=
yx
f
′
′
или,
что то же самое,
xy
f
yx
f
∂∂
∂
=
∂∂
∂
22
.
Эта теорема означает, что при нахождении смешанных производных последовательность дифференцирования по от-
дельным переменным не имеет значения.
Пример. Найти все частные производные второго порядка функции из предыдущего примера.
Решение. Находим, что
)2cos(2
2
3
2
2
−−=
∂
∂
x
y
z
y
x
f
; )2sin(6
2
2
2
2
−+=
∂∂
∂
x
y
z
xy
yx
f
;
)2sin(2
2
−−=
∂∂
∂
x
y
z
zx
f
; )2cos(26
3
2
2
2
2
2
−+−=
∂
∂
x
y
z
y
z
yx
y
f
; )2cos(2
1
2
2
−−=
∂∂
∂
x
y
z
yzy
f
;
y
x
z
f )2cos(
2
2
2
−
=
∂
∂
.
В качестве упражнения проверьте, что действительно
xy
f
yx
f
∂∂
∂
=
∂∂
∂
22
и т.д.
4.15. Дифференцируемость. Геометрический смысл частных производных. Необходимое условие экстремума
Определение 4.16. Функция ),,( zyxfu = называется дифференцируемой в точке ),,(
000
zyxM , если она имеет в
этой точке частные производные первого порядка, по всем своим аргументам, причем все эти производные непрерыв-
ны в данной точке.
То есть дифференцируемость ),,( zyxfu = определяется ее дифференцируемостью по отдельным аргументам.
Функция
),,( zyxfu = определяет в четырехмерном пространстве переменных
z
y
x
u ,,, некоторую поверхность. Дейст-
вительно, каждому возможному значению ее аргументов соответствует некоторое значение
u
. Если, например, ),,( zyxfu
=
удовлетворяет условиям непрерывности (которые аналогичны вышерассматривавшимся), то эти значения и составят непре-
рывную поверхность.
Геометрический смысл, например, частной производной
y
f
∂
∂
в точке ),,(
000
zyxM состоит в том, что она численно рав-
на тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся в сечении поверхности
),,( zyxfu
=
плоскостью, параллель-
ной плоскости
zOu и проходящей через эту точку. Конечно представить это себе геометрически гораздо сложнее, чем в слу-
чае одной переменной.
По аналогии со случаем одной переменной ясно, что, чтобы точка являлась экстремумом, необходимо (но недостаточ-
но), чтобы все касательные к поверхности в этой точке были бы перпендикулярны оси
Ou , то есть, справедлива теорема.
Теорема 4.12 (необходимое условие экстремума). Если функция ),,( zyxfu
=
дифференцируема в точке ),,(
000
zyxM
и достигает в ней экстремума, то все ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю.
То есть теперь необходимое условие будет иметь вид не одного, а целой системы уравнений
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
.0
;0
;0
z
f
y
f
x
f
Как и раньше, точки, координаты которых удовлетворяют системе необходимых условий экстремума, называются кри-
тическими
или стационарными.

Страницы