Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

....)()()()(
!1
1
)(),,(
000
+
−
∂
∂
+−
∂
∂
+−
∂
∂
+= afzz
z
yy
y
xx
x
afzyxf
+
−
∂
∂
+−
∂
∂
+−
∂
∂
+ )()()()(
!
1
...
000
afzz
z
yy
y
xx
xm
m
)θ()()()(
)!1(
1
1
000
aafzz
z
yy
y
xx
xm
m
∆+
−
∂
∂
+−
∂
∂
+−
∂
∂
+
+
+
,
где ),,( zyxa ∆∆∆=∆ .
Как видим, формула достаточно схожа с той, которая имела место в случае одной переменной. Эта формула означает,
что при выполнении соответствующих условий можно построить многомерную полиномиальную поверхность, которая с
заданной желаемой точностью приближает исходную функцию в окрестности заданной точки
a . Это имеет важное значе-
ние, в частности, для следующего вопроса.
4.17. Достаточное условие экстремума функции многих переменных
Введем сначала одно понятие из алгебры матриц.
Определение 4.17. Квадратная матрица
A
называется положительно определенной (отрицательно определенной), если
для любого вектора
x
соответствующей размерности выполняется
0>
T
xAx ( 0<
T
xAx ).
Определение 4.18. Главными минорами матрицы
A
называют определители ее подматриц расположенных в ее правом
верхнем углу, размерности этих подматриц называют порядком соответствующего минора. Определитель самой матрицы
n
A , таким образом, тоже является главным минором порядка
n
.
Очевидно, у матрицы
n
A имеется n главных миноров, начиная с первого порядка, каковым является элемент
11
a .
Теорема 4.15 (критерий Сильвестра). Матрица A положительно определена ⇔ все ее главные миноры положитель-
ны. Матрица
A отрицательно определена ⇔ 0
11
<a , и при переходе от любого главного минора матрицы к главному минору
следующего порядка знак значения минора меняется.
Заметим теперь, что если в разложении Тейлора ограничиться только членами не выше второй степени, то это разложе-
ние можно записать в виде
3
2
222
2
2
22
22
2
2
)()(),,( R
z
y
x
z
f
yz
f
xz
f
zy
f
y
f
xy
f
zx
f
yx
f
x
f
zyxafzyxf +
∆
∆
∆
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
∆∆∆=−
, (4.4)
где R
3
– остаточный член ряда Тейлора. В соответствие с формулой для любого вектора
)( zyx ∆∆∆
, выполняется
0lim
222
3
0
222
=
∆+∆+∆
→∆+∆+∆
zyx
R
zyx
,
то есть чем ближе точка ),,( zyx к
a
, тем слагаемое R
3
менее значимо относительно первого слагаемого из правой части
(4.4). Иначе говоря, для любой наперед заданной точности, можно указать окрестность точки
a , в которой приращение
функции
),,( zyxf будет с этой точностью аппроксимировано поверхностью определяемой только первым слагаемым раз-
ложения (4.4).
Этот факт можно использовать для того, чтобы исследовать на экстремум найденную критическую точку, так как те-
перь достаточно исследовать указанную аппроксимирующую поверхность в окрестности этой точки.
Теорема 4.16 (достаточное условие экстремума функции трех переменных). Если матрица из разложения (4.4) по-
ложительно определена, то точка
a – есть точка минимума функции f (x, y, z), если отрицательно определена, то – максиму-
ма. Если не имеет место ни то ни другое и все главные миноры отличны от нуля, то найденная точка является точкой пере-
гиба.
Пример. Исследуем с помощью рассматриваемого признака критическую точку, найденную в предыдущем примере. Рас-
считаем для функции
zxxyzyxu 2
222
−+−++=

Страницы