Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

матрицу ее частных производных второго порядка, ее называют гессиан,
−
−
=∆
200
021
012
2
f .
В данном случае получилась матрица из постоянных чисел. В общем случае, элементы гессиана могли бы зависеть от
аргументов функции, и тогда следовало бы для их нахождения подставлять значения, соответствующие координатам иссле-
дуемой точки. Итак, в нашем случае, матрица, как мы видим по критерию Сильвестра, положительно определена. То есть
найденная в предыдущем примере критическая точка является точкой минимума.
4.18. Непосредственное исследование критической точки
Как мы видим из формулировки теоремы 4.16, если хотя бы один из главных миноров гессиана равен нулю, то признак
не дает однозначного ответа. В этом имеется отличие рассматриваемого случая от случая функции одной переменной. И та-
кая ситуация неоднозначности встречается достаточно часто.
Тогда единственным выходом является непосредственное исследование значений функции в окрестности рассматри-
ваемой критической точки. Для этого необходимо произвести довольно значительное количество расчетов. Например, если
хотя бы рассчитать значения функции на гранях, серединах ребер и вершинах
n-мерного куба с центром в исследуемой точ-
ке, то функцию необходимо рассчитать 3
n
раз. К тому же, теоретически, такой подход также не гарантирует корректности
окончательных выводов, при любом конечном количестве точек из окрестности критической.
Однако на практике зачастую количество переменных в моделях не столь уж и велико. Как правило, например, в эко-
нометрических моделях их не больше чем 3-4. И тогда с использованием компьютера такие расчеты отнюдь не являются
слишком сложными.
Пример. Для заданной функции найти все частные производные первого и второго порядков
(
)
(
)
(
)
222),,(
22
++++−= zxzxyzyxf .
Записать систему уравнений, выражающую необходимые условия экстремума этой функции. Решить эту систему и исследо-
вать полученные решения.
Решение. Необходимые условия имеют вид:
()()
()()
=+++−=
∂
∂
==
∂
∂
=+++=
∂
∂
.0222
;0
;0222
2
xz
z
f
x
y
f
zxy
x
f
Решаем эту систему, находим, что единственной стационарной точкой является
−=
=
=
.2
;0
;0
z
y
x
Для того чтобы выяснить является ли эта точка экстремумом, находим гессиан данной функции:
()
(
)
(
)
()
−+
++
=
2022
001
22122
x
xz
H
.
Его главные миноры в исследуемой стационарной точке равны:
()
0)22(222
1
=
+
−
=
+=∆ z ; 2
2
−
=
∆
; 4
3
=
∆
.
Видим, что условия теоремы о достаточных условиях экстремума не выполняются, и нельзя однозначно указать, чем являет-
ся рассматриваемая точка.
Рассчитаем значения функции на гранях, серединах ребер и в вершинах трехмерного куба с центром в исследуемой
точке. Длину грани куба возьмем 0,02. Значения записаны в табл. 4.3.
Жирным подчеркнутым курсивом выделена исследуемая точка и соответствующее ей значение функции. Как видим, в
окрестности имеются значения как большие, так и меньшие выделенного. Это означает, что данная критическая точка явля-
ется точкой перегиба.

Страницы