Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
5.1. Первообразная и неопределенный интеграл
Понятия интеграла и первообразной функции [1, 4] теснейшим образом связаны с понятием производной, начиная с са-
мых первых основополагающих работ первооткрывателей дифференциального исчисления И. Ньютона и Г. Лейбница.
Определение 5.1. Функция F (x) называется первообразной функции f (x) на промежутке (a, b) ∈ R
1
, если функция F (x)
дифференцируема на этом промежутке и
)()( xfxF =
′
.
Несложно заметить, что если функция F (x) является первообразной для f (x), то и F (x) + C также будет первообразной
для
f (x), при C – любая константа. То есть первообразная для функции может быть найдена только с точностью до неопреде-
ленного постоянного слагаемого.
Определение 5.2. Говорят, что множество всех функций F (x) + C, где F (x) – одна из первообразных функции f (x), C –
любая константа, образует семейство первообразных функции
f (x).
Определение 5.3. Совокупность всех первообразных функции f (x) на промежутке (a, b) ∈ R
1
называется неопределен-
ным интегралом
от функции f (x) на этом промежутке и обозначается
∫
+= CxFdxxf )()( .
В этом обозначении знак
∫
– называется знаком интеграла, f (x) - подынтегральной функцией, f (x) dx – подынтегральным
выражением,
x - переменной интегрирования.
Определение 5.4. Операция нахождения первообразной функции называется интегрированием.
Часто отмечают, что интегрирование является операцией, в некотором смысле, обратной дифференцированию.
Свойства операции интегрирования:
1.
()
)()( xfdxxf =
′
∫
и Cxfdxxf +=
′
∫
)()( .
2.
CxFxdF +=
∫
)()( .
3.
∫∫
α=α dxxfdxxf )()( .
4.
()
∫∫∫
±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()( .
5.2. Табличные интегралы. Непосредственное интегрирование
Аналогично дифференцированию, при интегрировании используют уже известные интегралы от наиболее распростра-
ненных, в частности элементарных, функций. Их называют
табличными интегралами. Более или менее полный список та-
ких интегралов представлен в любом справочнике по высшей математике [5].
К наиболее важным из них можно отнести следующие:
1.
C
x
dxx +
+
=
+
∫
1α
1α
α
.
2.
Cx
x
dx
+=
∫
)ln( .
3.
Cx
x
dx
+=
+
∫
)(arctg
1
2
.
4.
.)arcsin(
1
2
Cx
x
dx
+=
−
∫
5.
Cxdxx +−=
∫
)cos()sin( .
6.
Cxdxx +=
∫
)sin()cos( .
7.
.ln
2
2
Ckxx
kx
dx
+++=
+
∫
Иногда для нахождения неопределенного интеграла от заданной функции достаточно использования табличных интегра-
лов и свойств линейности этой операции (свойства 3, 4). В этом случае говорят, что интеграл найден непосредственным интег-
рированием
подынтегральной функции.
Пример.
1.
()
=−+=−+
∫∫∫∫
dxxdxdxxdxxx
22
36)sin(236)sin(2
()
Cxxx +−+−=
3
6cos2 .
2.
=
++−=
++−
∫∫
dx
x
x
xxdx
x
xxx
2
2
2
34
21
3
23
C
x
x
x
xdx
x
dx
x
xdxdxx +−+−=++−=
∫∫∫∫
2
)ln(
2
21
3
2
3
2
2
.
Укажем уже сейчас следующий важный факт, в отличие от дифференцирования, не всегда можно проинтегрировать за-
данную функцию. То есть не все функции имеют первообразную. Обычно достаточно рассмотреть любое сложное выраже-

Страницы