Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

,
x
u = dxedv
x
= ⇒ ,dxdu
=
x
ev =
и по рассматриваемой формуле
CexCexedxexedxxeI
xxxxxx
+−=+−=−==
∫∫
)1(
отметим, что если бы в этом интеграле степень
x
была бы второй, то формулу интегрирования по частям следовало бы при-
менить дважды, если третьей, то трижды и т.д.;
2.
∫
= dxxI )ln( . Принимаем
,)ln(xu =
dxdv
=
⇒
x
dx
du =
,
x
v
=
и получаем
CxxCxxx
x
dx
xxxdxxI +−=+−=−==
∫∫
)1)(ln()ln()ln()ln( .
Следует еще раз отметить, что не существует
регулярного метода интегрирования, то есть единого алгоритма, позво-
ляющего или найти интеграл от заданной функции, или убедиться в невозможности этого. А есть лишь методы позволяющие
попытаться найти первообразную. Этим интегрирование качественно отличается от дифференцирования.
Для того чтобы научиться интегрировать, необходимо внимательно изучить достаточное количество примеров, которые
можно найти в учебниках и задачниках по высшей математике.
5.5. Некоторые специальные виды замены переменных
В математике известен целый спектр различных видов подынтегральных выражений, для которых часто оказываются
эффективны те или иные конкретные замены переменных. Эти виды выражений и соответствующие замены приводятся в
справочниках по высшей математике [5].
Например, если в подынтегральном выражении имеется блок вида
n
bax + , и с этим блоком и аргументом
x
выполня-
ются лишь арифметические действия, то полезной (позволяющей сразу найти интеграл или преобразовать подынтегральное
выражение к более простому виду) является следующая замена переменных
n
baxt += . При этом следует выразить
x
через
t
и отсюда найти ,dx то есть
n
baxt += ⇒
a
bt
x
n
−
=
⇒ dt
a
tn
dx
n 1−
= .
Если в подынтегральном выражении имеются блоки вида
n
bax + и
m
bax + , то следует использовать замену
N
baxt += , где N – наименьшее общее кратное чисел n и m . Далее отсюда также следует выразить
x
, найти dx и подста-
вить все в подынтегральную функцию.
Пример.
1.
tdtdxtx
xtdxxx
2и1
отсюда,1
заменуделаем
1
2
=+=
−==−
∫
=
()
∫
+ tdttt 21
2
=
(
)
∫
+ dttt
24
2 =
=
() ()
CxxCtt +−+−=++
2325
35
1
3
2
1
5
2
3
2
5
2
,
2.
dttdxtx
xtdx
x
x
34
4
4
4и
отсюда,
заменуделаем
1
==
==
+
∫
=
∫∫
+
=
+
2
4
4
3
4
4
1
4
1
4
t
dtt
t
dttt
=
dt
t
t
∫
+
+−=
2
2
1
1
14
=
()
=
+−− Cttt arctg
3
1
4
3
()
+−−= Cxarctgxx
44
4
3
3
1
4
.
Если подынтегральная функция содержит только арифметические действия над
x
и
22
xa − , то следует попытаться
использовать замену
()
tax cos= (или
()
tax sin= ), откуда
()
taxa sin
22
±=− ,
(
)
dttadx sin
−
=
.
Если – над
x
и
22
ax − , то – замену
()
t
a
x
cos
=
(или
()
t
a
x
sin
=
), откуда

Страницы