Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 5.1
Равенство (5.1) называют формулой Ньютона-Лейбница. Приращение первообразной кратко обозначают так:
a
b
xFaFbF
)()()( =− .
Попытаемся понять смысл равенства (5.1). Разобьем отрезок [
a, b], лежащий в области определения функции f (x) на N
равных частей длиной
N
ab
x
−
=∆
, как показано на рис. 5.1.
Площадь
S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (x) на отрезке [a, b] и осью OX, выделена цве-
том. Эту площадь можно приближенно рассчитать, рассчитав площадь под ломанной, также показанной на рисунке, по вы-
ражению
++∆
∆++
=∆
∆++
≈
∑
=
...
2
)()(
2
)()(
1
x
xafaf
x
xxfxf
S
N
i
ii
(
)
(
)
,
2
x
bfxbf
∆
+
∆
−
+ (5.2)
где
x
1
= a. Очевидно, что это приближение будет тем точнее, чем меньше интервал разбиения
N
ab
x
−
=∆
, то есть больше N.
Более того, ясно, что предел суммы (5.2), при
0→∆x и
∞
→N , в точности равен величине S:
∆
∆++
=
∑
=
∞→
N
i
ii
N
x
xxfxf
S
1
2
)()(
lim
.
Заменяя теперь в этой сумме значение функции
)(xf значением производной от ее первообразной, то есть в соответствие с
известным нам равенством
)()( xFxf
′
= , получаем
∆
∆+
′
+
′
=
∑
=
∞→
N
i
ii
N
x
xxFxF
S
1
2
)()(
lim
.
Также при
0→∆x и ∞→N , в соответствие с определением производной, выполняется
=
∆
∆
∆+−∆+
+
∆
−∆+
=
=∆
∆+
′
+
′
∑
∑
=
→∆
=
N
i
iiii
x
N
i
ii
x
x
xxFxxF
x
xFxxF
x
xxFxF
1
0
1
2
)()2()()(
lim
2
)()(
−∆+
=
∑
=
→∆
N
i
ii
x
xFxxF
1
0
2
)()2(
lim
.
Видим, что в последнюю сумму входят одинаковые величины с противоположными знаками; после их взаимного унич-
тожения получаем
).()(
2
)()()()(
lim
2
)()2(
lim
0
1
0
aFbF
aFxaFbFxbF
xFxxF
x
N
i
ii
x
−=
=
−∆+−+∆+
=
−∆+
→∆
=
→∆
∑
Таким образом мы видим, что
)()( aFbFS
−
=
;
∆
x

Страницы