Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Эти значения используем для расчета площадей
i
S трапеций, по формуле
x
xfxf
S
ii
i
∆
+
=
+
2
)()(
1
,
где
15
ab
x
−
=∆
– длина интервала разбиения. Результаты расчетов занесем в табл. 5.2.
Таблица 5.2
Номер
трапеции
Ее
площадь, S
i
Номер
трапеции
Ее
площадь, S
i
Номер
трапеции
Ее
площадь, S
i
1 0,0015 6 0,0158 11 –0,0616
2 0,0067 7 0,0001 12 –0,0489
3 0,0148 8 –0,0213 13 –0,0210
4 0,0215 9 –0,0431 14 0,0172
5 0,0228 10 –0,0585 15 0,0570
Сумма площадей этих трапеций равна
==
∑
=
15
1i
i
SS –0,0969.
Эта величина и является искомым приближенным значением определенного интеграла. Как видим, ошибка по сравнению с
точным результатом составляет
∆= –0,1 – (–0,0969) = 0,0031,
что в процентах составляет
%3,1%100
0,1
0031,0
≈
.
5.7. Определенный интеграл как предел интегральной суммы.
Свойства определенного интеграла
Рассмотрим некоторые факты, важные для более глубокого понимания определенного интеграла (ИО) как математиче-
ского понятия и одного из важнейших инструментов моделирования и анализа реальных процессов.
Мы уже видели, что точно вычислить площадь криволинейной трапеции без использования интеграла невозможно. За-
метим теперь, что вместо интегральной суммы (5.2), для приближенного расчета
S , можно использовать и сумму вида
∑
=
∆≈
N
i
i
xxfS
1
)( .
Такая сумма соответствует приближению криволинейной трапеции
N прямоугольниками высоты Nixf
i
,1),( = , и с одина-
ковой длиной основания
x∆ . Эта формула и называется формулой прямоугольников. Очевидно, что и эта сумма, в приделе
при
0→∆x и ∞→N , в точности равна величине S , то есть:
∫
∑
=
∆
=
∞→
→∆
b
a
N
i
i
N
x
dxxfxxf )()(lim
1
0
. (5.3)
Очень важно отметить схожесть структур левой и правой частей этого равенства. Сам символ интеграла представляет
собой вытянутую букву
S , и это не случайно, так как именно с этой буквы начинаются слова «сумма» и «площадь» в латин-
ском языке.
Таким образом, мы пришли к тому, что определение ОИ можно было бы дать иначе, чем это было сделано ранее, а
именно: ОИ – это предел соответствующей интегральной суммы. Иногда говорят, что ОИ это бесконечная сумма бесконеч-
но малых.
Этот принцип легко распространяется от площади криволинейной трапеции еще на много случаев. Например, с помо-
щью ОИ (и только так) мы легко можем построить формулу для вычисления длины кривой на плоскости. Пусть необходимо
рассчитать
L
-длину части кривой, соответствующей графику функции )(xf на отрезке
1
)(],[ RfDba ⊂∈
. Используя тот же
рис. 5.1 для иллюстрации, можно видеть, что приближенно эту длину можно рассчитать как длину той же ломаной. Длину
же ломаной
l , используя геометрический смысл производной, можно записать через формулу
()
∑∑
==
∆
′
+=∆
′
+∆=
N
i
i
N
i
i
xxfxxfxl
1
2
1
2
2
)(1)( .
По аналогии с (5.3), то есть используя определение ОИ как предела интегральной суммы, можно записать

Страницы