Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

∫
∑
′
+==
∆
′
+
=
∞→
→∆
b
a
N
i
i
N
x
dxxfLxxf
2
1
2
0
)(1)(1lim
.
Рассуждая аналогичным образом, можно прийти к понятию многомерного определенного интеграла, то есть определен-
ного интеграла от функции нескольких переменных. Например, тройной интеграл записывают в виде
∫∫∫
=
2
1
2
1
2
1
),,(
x
x
y
y
z
z
dzdydxzyxfW или
∫∫∫
=
2
1
2
1
2
1
),,(
x
x
y
y
z
z
dzzyxfdydxW .
Интервалы ],[
21
xx , ],[
21
yy , ],[
21
zz очевидно определяют некоторый соответствующий параллепипед в трехмерном
пространстве. Физический смысл этого интеграла – это вес этого параллепипеда, если плотность материала, из которого он
сделан, в каждой точке определяется функцией ),,( zyxf . Интегрирование проводится по каждой переменной по отдельно-
сти, при этом другие переменные считаются за константы, и порядок чередования переменных не меняет результата. Полез-
но отметить, что эти правила полностью аналогичны правилам дифференцирования функций нескольких переменных, что
конечно же связано с определенным соответствием между интегрированием и дифференцированием как операциями.
Имеется и целый ряд других разновидностей определенных интегралов и вариантов их использования.
Используя геометрический смысл определенного интеграла, а также его понимание как предела интегральной суммы,
несложно прийти к следующим основным его свойствам.
Свойства определенного интеграла:
1.
0)( =
∫
a
a
dxxf , если )(xf ограничена в точке a
x
=
.
2. 0)( ≥
∫
b
a
dxxf , если 0)( ≥xf на интервале ],[ ba , и
0)( ≤
∫
b
a
dxxf , если 0)( ≤xf на интервале ],[ ba .
3.
∫∫
−=
a
b
b
a
dxxfdxxf )()( .
4.
∫∫∫
+=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()( , если ],[ bac ∈ .
5.8. Определение дифференциального уравнения и его решения
Наряду со многими другими понятиями высшей математики, дифференциальные уравнения (ДУ) являются одним из ос-
новных инструментов моделирования различных процессов в природе и обществе [1, 4, 6]. Если только какой-нибудь про-
цесс носит динамический характер, то есть протекает во времени и характеризуется изменяющимися во времени параметра-
ми, то при его моделировании всегда возникает необходимость использования ДУ.
Определение 5.6. Выражение вида
0),,(
=
′
yytF , (5.4)
где )(ty – некоторая неизвестная функция аргумента
t
, F(⋅) – некоторая известная функция трех аргументов, называется
обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Любая функция )(ty , при подстановке которой в выраже-
ние (5.4) получается тождество, называется решением этого дифференциального уравнения.
Если выражение, определяющее ДУ, включает производные функции
)(ty более высокого порядка, чем первый, то это
выражение является дифференциальным уравнением соответствующего порядка.
Если ДУ имеет такой вид, что старшая производная )(ty явно выражена через
t
,
(
)
ty и остальные производные
(
)
ty ,
то такое уравнение называется приведенным относительно старшей производной.
Пример.
1) 0)ln()4(
2
=+−
′
tyyt – ДУ первого порядка;
2)
1
)cos(
−
=
′′
+
y
t
ytyt – ДУ второго порядка, соответствующая приведенная форма этого уравнения имеет вид
()
y
ty
t
y −
−
=
′′
1
)cos(
.

Страницы