Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Найдем теперь из дополнительного условия частное решение, которое задано для нулевого значения аргумента (в этом
случае его обычно называют начальным условием); подставляя, получаем
2
1
2
1
1
1
−= C ⇒
1
3 C
=
.
Итак, искомым решением задачи Коши является функция
1
2
3
2
−= xy .
5.10. Однородные ДУ
Если исходное ДУ можно привести к виду
=
′
t
y
fy
, (5.5)
то оно называется однородным ДУ. Его можно попытаться проинтегрировать, сделав замену переменных
t
y
x =
, которой
соответствует равенство
txxy
tt
′
+
=
′
,
и подставив полученное в (5.5) приходим к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример.
1.
0cos
2
=+−
′
t
y
tyyt ⇒ 0cos
2
=+−
′
t
y
t
y
y ,
полученное уравнение является однородным; делая указанную замену, имеем
0cos
2
=+−+ xx
dt
dx
tx ,
получили ДУ с разделяющимися переменными
t
dt
x
dx
=−
2
cos
⇒
(
)
(
)
0lntg
=
+
cxx ;
возвращаясь к исходной переменной, имеем
0lntg =
+
t
cy
t
y
.
Отсюда можно выразить y явным образом, однако не будем этого делать, поскольку получится достаточно громоздкое вы-
ражение.
2.
yx
y
y
+
=
′
– решить самостоятельно.
5.11. Линейные ДУ
Если уравнение можно привести к виду
)()( xgyxpy
=
+
′
,
то его называют линейным ДУ первого порядка. Такие уравнения, в частности, когда )(xp и )(xg являются постоянными
коэффициентами, имеют большое практическое применение.
Это уравнение можно попытаться решить следующим образом. Будем искать решение в виде
)()()( xvxuxy
=
,
тогда (аргумент
x
в дальнейшем опускается)
vuvuy
′
+
′
=
′
и исходное уравнением переписывается в виде
qpvvuvu
=
+
′
+
′
)( ,
и если теперь подобрать )(xv так, чтобы
0)(
=
+
′
pvv ,
то исходное уравнение будет упрощено до хорошо известного ДУ с разделяющимися переменными. Заметим, что ни воз-
можность этого упрощения, ни последующее его успешное использование не гарантированы.

Страницы