Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 60 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

Пример.
x
e
x
y
y 2
2
=
,
видим уравнение относится к линейным; используя указанный выше вид искомого решения
)()()( xvxuxy = , получаем экви-
валентное ДУ
x
e
x
uv
vuvu 2
2
=
+
или
x
e
x
v
vuvu 2
2
=
+
,
находим решение уравнения
0
2
=
x
v
v .
Это функция
x
exv =)( .
После этого, из соответствующего упрощенного уравнения для
)(xu
, находим, что
Cxu +=
2
.
Таким образом, получаем
(
)
Cxexy
x
+=
2
)( .
5.12. Численное решение ДУ
Существуют и некоторые другие типы ДУ, для которых разработаны достаточно эффективные методы их аналитиче-
ского решения. Однако такие типы составляют, вообще говоря, лишь небольшую часть всех возможных видов ДУ, и, в част-
ности, – лишь небольшую часть ДУ, встречающихся в тех или иных практических задачах.
Вполне эффективным и простым путем выхода из этой проблемы является использование численных методов решения
ДУ. Этот подход основан на очень простой идее замены встречающихся в ДУ производныхих разностным приближением,
то есть по формуле, соответствующей определению производной
t
tytty
ty
+
)()(
)(
.
Отсюда, можно найти не аналитическую формулу, определяющую искомую функцию
)(ty , а лишь последовательность
ее значений в дискретные моменты времени
...,3,2,,
0000
ttttttt
+
+
+
,
что зачастую является вполне достаточным для практических приложений.
То есть пусть имеется ДУ общего вида
),()( tyfty
=
и задано начальное условие
00
)( yty
=
,
тогда можно искать приближенные значения функции )(ty , в соответствующие моменты времени, по формуле
)),(()()(
1 iiii
ttyfttyty
×
+
+
, (5.6)
где ttt
ii
+=
+1
моменты времени;
0
t заданный начальный момент времени.
Ясно, что результат будет тем точнее, то есть ближе к истинным значениям неизвестной функции
)(ty , чем меньше бу-
дет принята величина
t , называемая шагом интегрирования. Само соотношение (5.6) называют разностным уравнением.
Аналогично производной первого порядка, аппроксимирующую разностную формулу можно записать и для производ-
ной любого порядка. Например, для второй производной имеем
2
)()(2)(
)(
t
ttytytty
ty
++
.
Подобным образом, численно могут решаться дифференциальные уравнения любого порядка.
Пример. Решим численно задачу Коши, рассматривавшуюся в предыдущих примерах
()
=
=++
,1)0(
;0)1(2
2
y
dyxdxxxy
по рассмотренной формуле.