Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

5.14. Использование ДУ при моделировании
экономических процессов
В последние годы в образовательные программы экономических специальностей входят весьма сложные математиче-
ские модели экономических процессов. Обычно их изучают в завершающих частях дисциплины «Экономическая теория».
Большая часть этих моделей основана на использовании ДУ.
Рассмотрим в качестве простейшего примера, так называемую, односекторную модель экономического роста – модель
Солоу [6].
Состояние экономики в модели Солоу задается следующими пятью переменными:
X
– внутренний валовый продукт
(ВВП);
C – фонд непроизводственного потребления;
I
– инвестиции в основные фонды,
L
– число занятых;
K
– производ-
ственные (основные) фонды. Кроме того в модели, в качестве параметров, используются следующие показатели:
ν
– годовой
темп прироста числа занятых;
µ – доля выбывших за год основных производственных фондов; p – доля валовых инвестиций
в ВВП (норма накопления).
Предполагается, что годовой выпуск продукции в каждый момент времени определяется производственной функцией
Кобба-Дугласа
βα
γ LKX = ,
где γ,β,α – известные постоянные, найденные из анализа статистических данных о функционирования экономики в преды-
дущие периоды.
Износ и инвестиции в производственные фонды за время
t
∆
соответственно составят µ tK∆ и tI∆ , поэтому прирост
фондов за это время
tItKK
∆
+
∆
−
=
∆
µ ,
переходя к пределу при ∞→∆t , получаем ДУ
IK
t
K
+−=
∂
∂
µ
с начальным условием
0
)0( KK
.
Принимая, как это обычно делается, что число занятых растет во времени по экспоненциальному закону, модель Солоу
может быть записана в виде следующей совокупности алгебраических и дифференциальных уравнений:
t
eLtL
ν
=
0
)( ;
)()(µ
)(
tItK
t
tK
+−=
∂
∂
,
0
)0( KK
;
[
]
[
]
βα
)()(γ)( tLtKtX = ;
)()( tXptI
;
)()1()( tXptC
.
Посредством подстановки нужных равенств в ДУ можно перейти от этой системы к единственному ДУ, однако в этом
нет практического смысла, так как будет потеряна ясность структуры этой модели.
В качестве примера модели, представляющей собой систему ДУ, можно привести модель Солоу с учетом запаздывания
во вводе фондов
)(tV . Это запаздывание в простейшем случае можно выразить следующим образом:
)τ()(
tItV ,
где τ – некоторый фиксированный лаг запаздывания. Однако более точно, имеющий место на практике процесс выражается
через, так называемый, распределенный во времени лаг. Ко времени
t
, от начала рассмотрения процесса накопления инве-
стиций, они будут накоплены в объеме
∫
∞−
−=
t
dItNtV τ)τ()τ()( , (5.8)
где функция )τ( −tN выражает эту распределенность. Часто ее принимают, например, экспоненциальной
)τ(λ
λ)τ(
−−
=−
t
etN .
В этом случае после дифференцирования (5.8) мы получим следующее ДУ

Страницы