Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Решение. Результаты расчетов показаны на рис. 5.3 и 5.4. Причем, на рис. 5.3 показаны результаты для случая, когда
было принято
50=N , а на рис. 5.4 для 15=N .
На этих рисунках, для сравнения, показан также график функции аналитического решения. По ним можно судить о ме-
ре точности для данного случая. Не стоит забывать, что с помощью компьютера не представляет труда решить численно за-
дачу при любом, гораздо большем
N .
Приведенная численная формула (5.6) является простейшей, имеются и более сложные, которые, как правило, характе-
ризуются и большей точностью.
5.13. Системы ДУ
Кроме отдельных ДУ, рассматриваются также системы ДУ. На практике они возникают тогда, когда моделируемый
объект (или процесс) характеризуется несколькими меняющимися во времени параметрами, которые взаимно влияют друг
на друга. Ясно, что такая ситуация является весьма распространенной.
Например, система двух ДУ с двумя неизвестными функциями
)(ty и )(tz , в простейшем случае может иметь вид
=
=
).,,(
;),,(
2
1
tzyf
dt
dz
tzyf
dt
dy
(5.7)
Аналогично случаю одного уравнения, ее общее решение представляет собой целое параметрическое семейство кривых
),,(
21
CCty , ),,(
21
CCtz , которое зависит уже от двух неопределенных параметров.
Далее, могут быть заданы дополнительные условия на значения функций при заданных значениях аргумента
t
. Напри-
мер, начальные условия
00
)( yty = и
00
)( ztz = . Такие дополнительные условия позволяют из семейства решений системы
ДУ (5.7) выделить единственным образом искомые функции
)(ty и )(tz .
Из всего многообразия систем ДУ регулярные методы решения разработаны только для линейных систем ДУ с посто-
янными коэффициентами, то есть для систем вида
++=
++=
.....
.........................................
;....
11
11111
1
nnnn
n
n
yaya
dt
dy
yaya
dt
dy
Достаточно ясно, что это весьма частный случай системы ДУ. Однако в прикладной математике, и в частности в эконо-
мическом моделировании, такие системы играют значительную роль.
Несмотря на сложности, в общем случае, с нахождением решения аналитически, численное решение систем ДУ не вы-
зывает принципиальных осложнений. По аналогии с вышесказанным, от системы (5.7) можно перейти к системе разностных
уравнений вида
×∆+≈
×∆+≈
+
+
).),(),(()()(
;)),(),(()()(
21
11
iiiii
iiiii
ttztyfttztz
ttztyfttyty
Как и ранее, возможны варианты схем разностных уравнений. Например, так называемые, неявные схемы, которые мо-
гут дать большую точность, чем приводившаяся ранее явная разностная схема.
Рис. 5.3 Рис. 5.4
t = 5
t = 5
t = 1
t = 1
t = 1

Страницы