Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Аргумент
t
во многих случаях целесообразно рассматривать как время. Поскольку, как уже было сказано, ДУ прежде
всего служат для описания динамических процессов. В данном случае – процесса изменения значения величины
y во вре-
мени.
Процесс решения ДУ называют интегрированием этого уравнения. Это связано с тем, что на каких-то этапах приходит-
ся находить неопределенные интегралы от соответствующих выражений. Отсюда несложно понять, из определения интегра-
ла, что найденное решение ДУ будет содержать неопределенную постоянную.
Определение 5.7. Функция ),( Cty , являющаяся решением некоторого ДУ при любом значении неопределенной посто-
янной
C , называется общим решением этого ДУ. При любом конкретном значении C , соответствующая функция называет-
ся частным решением этого уравнения.
Если на искомую функцию
),( Cty наложить какое-либо дополнительное условие (или несколько), например, задано ее зна-
чение при заданном значении аргумента
t
(в некоторый момент времени), то таким образом из общего решения будет выделено
некоторое соответствующее частное решение. Такая постановка задачи, когда с помощью заданного дополнительного условия, из
общего решения выделяется частное, называется задачей Коши. Например, задача о нахождении функции удовлетворяющей усло-
виям
=
=
′
,)(
;),(
00
yty
tyfy
является задачей Коши.
Проинтегрировать аналитически ДУ, то есть аналитически решить его, удается далеко не всегда. В этом также имеется
аналогия между решением ДУ и операцией интегрирования. Укажем несколько наиболее известных и простых видов ДУ,
поддающихся решению.
5.9. Уравнения с разделяющимися переменными
Простейшим типом ДУ, поддающимся интегрированию, является следующий. Если ДУ можно привести к виду
)()( ygtfy
=
′
,
где
)(tf
и )( yg – некоторые функции, то такое ДУ называется ДУ с разделяющимися переменными. Для нахождения реше-
ния достаточно перейти от указанного вида к эквивалентному
)()( ygtfy
d
t
dy
=
′
=
⇒ dttf
yg
dy
)(
)(
=
и затем попытаться проинтегрировать обе части полученного равенства
∫∫
= dttf
yg
dy
)(
)(
.
Пример.
1.
0)ln()4(
2
=+−
′
tyyt
⇒
⇒
t
ty
y
)ln()4(
2
+
=
′
⇒
t
ty
d
t
dy )ln()4(
2
+
=
⇒
⇒
dt
t
t
y
dy )ln(
)4(
2
=
+
⇒
∫∫
=
+
dt
t
t
y
dy )ln(
)4(
2
⇒
⇒
C
ty
+=
2
)(ln
2
arctg
2
1
2
,
как правило, после интегрирования явно выражать y через
t
считается необязательным, или же часто это невозможно, од-
нако когда возможно, желательно это делать
(
)
Cty 2)(lntg2
2
+= .
2. Решить задачу Коши
()
=
=+−+
,1)0(
;0)1(2
2
y
dyxdxxxy
здесь
y является неизвестной функцией аргумента
x
. Разделяя переменные в дифференциальном уравнении и интегрируя
полученное равенство, находим, что
∫∫
+
=
+
12
)1(
2
y
dy
xd
x
x
⇒
(
)
Cxy ++=+ 1ln
2
1
)12ln(
2
1
2
⇒
⇒
(
)
112
22
+=+ xey
C
⇒
(
)
2
1
1
2
1
2
1
−+= xCy .

Страницы