ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
это означает, что определенный интеграл от функции )(xf на отрезке ],[ ba равен площади криволинейной трапеции огра-
ниченной графиком этой функции на отрезке и осью
OX с учетом знака функции. Говорят, что в этом состоит геометриче-
ский смысл определенного интеграла
.
Ясно, что точное нахождение значения определенного интеграла требует нахождения первообразной, а это, как мы зна-
ем, не всегда возможно. С другой стороны, пользуясь формулой (5.2), которая называется
интегральной суммой, можно при-
ближенно, но с любой заранее заданной точностью, рассчитать определенный интеграл от любой функции. Этот подход на-
зывается
численным интегрированием.
Имеются различные варианты формул для такого расчета, характеризующиеся той или иной степенью сложности и
точности расчетов, в частности,
формула прямоугольников, формула Симпсона и т.д. Указанная выше формула (5.2) называ-
ется формулой трапеций.
Пример. Найти определенный интеграл
dxxx
∫
2,1
0
)6sin( .
Построить график подынтегральной функции на интервале интегрирования. Рассчитать интеграл численно, с помощью ме-
тода трапеций, разбив интервал интегрирования на 15 частей.
Решение. Найдем сначала этот интеграл аналитически. Интегрируя по частям получаем
() () () ()
0
2,1
36
6sin
6
6cos
6
6cos
0
2,1
6
6cos
)6sin(
2,1
0
2,1
0
+−=+
−=
∫∫
xxx
dx
xxx
dxxx
=
= –0,1 – 0 = –0,1.
Теперь построим график рассматриваемой функции на отрезке
[
]
2,1;0 (рис. 5.2).
Разобьем этот отрезок на 15 одинаковых интервалов и рассчитаем значения подынтегральной функции в концах
15,0, =ix
i
. Результаты расчетов занесем в табл. 5.1.
Рис. 5.2
Таблица 5.1
x
i
f (x
i
) x
i
f (x
i
)
0,0000 0,0000 0,6400 –0,4115
0,0800 0,0369 0,7200 –0,6653
0,1600 0,1311 0,8000 –0,7969
0,2400 0,2380 0,8800 –0,7420
0,3200 0,3007 0,9600 –0,4797
0,4000 0,2702 1,0400 –0,0449
0,4800 0,1241 1,1200 0,4738
0,5600 –0,1213 1,2000 0,9524
0
,
5
Y
a = 0
b = 1,2
X
0
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- …
- следующая ›
- последняя »
