Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ние, и мы столкнемся с невозможностью его проинтегрировать. Примером вполне простого выражения, неопределенный
интеграл от которого не существует, является очень важный в некоторых разделах математики интеграл (интеграл Лапласса)
∫
−
= dxeI
x
2
.
5.3. Основные методы интегрирования. Метод замены переменных
Из приведенных примеров ясно, что с помощью непосредственного интегрирования первообразную удается найти
весьма редко. В действительности обычно приходится применять известные специальные приемы, называемые
методами
интегрирования
. Фактически, все эти методы являются методами преобразования исходного подынтегрального выражения к
виду, когда уже удается применить непосредственное интегрирование.
Почти всегда при интегрировании, так или иначе, приходится использовать прием, называемый методом замены пере-
менных, и основанный на следующей теореме.
Теорема 5.1. (формула замены переменных) Пусть функция x = ϕ (t) дифференцируема на некотором промежутке, а
функция
f (x) имеет первообразную на этом промежутке, тогда справедлива формула
∫∫
= fdxxf )( [ϕ (t)] ϕ′ (t) dt.
Пример.
1.
()
∫
== ...2cos dxxI , делаем простейшую замену
xt 2
=
⇒ dxdt 2
=
,
тогда
()
(
)
(
)
C
x
C
tdt
t +−=+−==
∫
2
2sin
2
sin
2
cos...
.
2.
∫
+
=
2
1
x
xdx
I
. Замечаем, что множитель
x
является «почти производной» от оставшейся части выражения. Делаем за-
мену
2
1 xt += ⇒ x
dx
dt
2= ⇒ xdxdt 2
=
.
Подставляем эти выражения в исходный интеграл, получаем
CxCt
t
dt
I ++=+==
∫
)1ln(
2
1
)ln(
2
1
2
1
2
;
3.
()
∫
−
=
3
3
2 x
dxx
I
. Сделаем замену xt −= 2 ⇒ tx
−
=
2 и dxdt
−
=
.
Подставляя, получаем
()
()
=+−+−−=
−
−=
∫∫
−−−
Cdttttdt
t
t
I 16128
2
123
3
3
()
Cxx
x
x
Ctttt +−+−−
−
−
−
=++−−=
−−
)2()2ln(6
2
12
2
4
)ln(6124
2
12
.
Следует помнить, что в окончательном ответе
все должно быть выражено через первоначальную переменную, сколько
бы промежуточных замен переменных в ходе преобразований не проводилось.
5.4. Основные методы интегрирования.
Метод интегрирования по частям
Весьма часто оказывается полезным следующее равенство, справедливое для двух дифференцируемых на интересую-
щем нас промежутке функций
)(xu и )(xv , –
dxxuxvxvxudxxvxu
∫∫
′
−=
′
)()()()()()(
,
которое называется
формулой интегрирования по частям. В дифференциалах она записывается несколько компактнее:
duvuvdvu
∫∫
−= .
Эта формула несложно выводится из правила дифференцирования произведения двух функций (предлагается вывести ее в
качестве упражнения самостоятельно).
Формула интегрирования по частям чаще всего применяется тогда, когда подынтегральное выражение представляет со-
бой произведение двух блоков, являющихся функциями различных типов. Например, степенной и логарифмической, или
степенной и показательной и т.д.
Пример.
1.
∫
= dxxeI
x
. В этом случае принимаем

Страницы