Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

196)(
23
++−= xxxxf .
Находим ее вторую производную и приравниваем ее к нулю
0126)(
=
−
=
′
′
xxf ,
единственный корень этого уравнения .2
1
=x
Несложно видеть, что:
• 0)( <
′′
xf при )2,(−∞∈x – функция выпукла;
• 0)( >
′′
xf при ),2( ∞+∈x – функция вогнута.
График этой функции показан на рис. 4.3.
4.9. Достаточные условия экстремума
Из вышесказанного следует, что если требуется найти все точки экстремума некоторой функции, то недостаточно толь-
ко определить все ее критические точки. Необходимо еще исследовать их на действительное наличие в них экстремума. Для
этого используются определенные признаки, которые называют
достаточными условиями экстремума.
Теорема 4.9 (первое достаточное условие экстремума). Если при переходе через критическую точку производная
функции меняет знак, то это точка экстремума. Причем, если знак меняется с минуса на плюс, то это минимум; если с плюса
на минимум, то максимум.
В параграфе 4.7 мы уже фактически использовали это интуитивно ясное условие. Действительно, например, до точки
максимума функция растет, и значит, – производная положительна. После же перехода через максимум, функция убывает и
– производная отрицательна. При переходе же через точку перегиба знак производной не меняется.
Иногда более удобным может оказаться другой признак.
Теорема 4.10 (второе достаточное условие экстремума). Если в некоторой окрестности критической точки вторая
производная функции не меняет знак, то это экстремум. Причем, если она в этой окрестности неотрицательна, то это мини-
мум; если не положительна, то – максимум.
Справедливость этого признака также вполне очевидна и следует из условий выпуклости и вогнутости функции.
Пример. Применим второе достаточное условие к исследованию критических точек функции
196)(
23
++−= xxxxf .
В примере параграфа 4.6 эти точки уже были найдены:
.3,1
21
== xx
Находим вторую поизводную функции
0126)(
=
−
=
′
′
xxf .
Видим, что
06)1(
<
−=
′′
f значит 1
1
=
x – максимум;
06)3( >=
′′
f значит 3
2
=
x – минимум.
Мы установили знак второй производной только в самих критических точках, но дело в том, что поскольку исследуемая
производная является непрерывной, то знак сохраняется и в некоторой окрестности этих точек.
Определение 4.9. Точки, при переходе через которые )(xf
′
′
меняет знак, также называются точками перегиба.
4.10. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Мы ознакомились с рядом важнейших понятий и фактов математического анализа. Рассмотрим теперь их использова-
ние, для начала, на примере следующей классической задачи. Имеется функция
(
)
xf , требуется найти наибольшее и наи-
меньшее значения, которые она достигает на некотором отрезке
[
]
1
, Rba ∈ . Можно отметить, что это простейшая задача ус-
ловной оптимизации
.
Решение можно выстраивать по следующей схеме:
1. Найти критические точки и точки разрыва II-го рода функции f (x), и выделить из них те, которые принадлежат дан-
ному отрезку.
2.
Если имеются точки разрыва II-го рода, принадлежащие отрезку, то следует найти соответствующие односторонние
пределы. Если хотя бы один из них равен
+∞ , то говорят, что функция не имеет на этом отрезке наибольшего значения.
Заметьте, не говорят, что наибольшее значение функции равно
+
∞
, это некорректно, так как нет такого числа –
+
∞
. Далее,
если хотя бы один из них равен
−∞ , то говорят, что функция не имеет на этом отрезке наименьшего значения.
3.
С помощью достаточных условий проверить являются ли выделенные критические точки экстремумами и какими
именно. Однако можно перейти сразу к следующему этапу.
4.
Найти значения функции f (x) в выделенных критических точках и в концах отрезка [a, b], то есть в точках a и b.

Страницы