Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

() ()()
−
′′
′
=
′
xxx
x
xxxxf
33
)sin(
4
3
33
)sin()sin()(
()
()
()
()
()
()()
=
′′
′
′
−
x
x
x
x
x
x
x
x
5)5ln(
5
)5ln(tg
)5ln(
)5ln(
5,6
tg
)5ln(tg
7
() ()
() ()
()()
5
5
1
5lncos
1
5lntg5,673cossin4
2
5,72333
x
x
xxxx
−
−−=
.
Остается провести упрощающие преобразования.
4.4. Дифференциал функции в точке и его свойства
В соответствии с определением производной несложно видеть, что если в точке х
0
существует )(
0
xf
′
, то приращение
значения функции в этой точке представимо в виде
xxxxfxfxxf ∆∆+
∆
′
=
−
∆
+
)(α)()()(
000
, (4.2)
где функция )(α x∆ такова, что
0)(αlim
0
=
∆
→∆
x
x
.
Такие величины называют бесконечно малыми порядка x
∆
.
Определение 4.1. Первое слагаемое в правой части равенства (4.2) называют главной линейной частью приращения
функции, или дифференциалом функции y = f (x) в точке х
0
.
Дифференциал функции y = f (x) есть функция двух аргументов x и ∆ x. Его обозначают df или dy. Таким образом, диф-
ференциал функции в точке
x это величина
xxfdf ∆
′
= )( .
Используя дифференциал аргумента, который очевидно равен dx = ∆ x, получаем, что
)(xf
dx
df
′
= ,
это отношение часто используют как еще одно обозначение производной функции f (x).
Из свойств операции дифференцирования легко следуют совершенно аналогичные свойства дифференциалов:
1)
()
;dgdf fg)d +=
2)
()
,αα dffd = где
constα ∀−
;
3)
()
;fdgdfg fgd +=
4)
2
g
fdgdfg
g
f
d
−
=
, в частности
2
1
g
dg
g
d −=
.
4.5. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
Теорема 4.5 (правило Лопиталя). Пусть функции f (x) и g (x) определены и дифференцируемы в некоторой ε – окрест-
ности точки
a, за исключением, быть может, самой точки a. Пусть, далее,
0)(lim)(lim
=
=
→→
xgxf
axax
и 0)(
≠
′
xg
в указанной окрестности точки a. Тогда, если существует предел отношения производных
)(
)(
lim
xg
xf
ax
′
′
→
(конечный или беско-
нечный), то существует и предел
)(
)(
lim
xg
xf
ax→
, причем выполняется
)(
)(
lim
)(
)(
lim
xg
xf
xg
xf
axax
′
′
=
→→
.
Пример. Рассмотрим уже известный первый замечательный предел
1
)sin(
lim
0
=
→
x
x
x
,
его доказательство из соответствующих геометрических построений весьма объемно. Применяя же правило Лопиталя, легко
получаем, что

Страницы