Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 4.3 (Коши). Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны на [a, b] и дифференцируемы на (a, b), и пусть, кроме того, на
этом интервале
0)( ≠
′
xg . Тогда существует точка c ∈ (a, b) такая, что справедлива формула
)(
)(
)()(
)()(
cg
cf
agbg
afbf
′
′
=
−
−
. (4.1)
Доказательства этих теорем можно найти в любом учебнике по математическому анализу. Формулу (4.1) называют
формулой Коши.
4.2. Использование геометрического смысла производной
при решении задач
С геометрическим смыслом производной связан целый спектр задач геометрического содержания. Например, требуется
определить, под каким углом пересекаются в заданной точке графики двух заданных функций ϕ
1
(x) и ϕ
2
(x) (рис. 4.2).
Рис. 4.2
Угол же между графиками в точке их пересечения, очевидно, равен углу между касательными к этим кривым, то есть
12
ααβ
−
=
.
Значит нужно найти значения производных функций в точке их пересечения, тем самым будут найдены тангенсы углов
наклона касательных. А, зная тангенсы, находим и сами углы. Отметим, что решить эту задачу точно, без дифференциально-
го исчисления, невозможно.
Почти всегда, когда речь идет о задачах геометрического содержания, невозможно указать общую схему их постановки,
а значит, и предложить общий алгоритм решения. И в данном случае встречаются задачи, весьма различного содержания.
Однако можно указать ряд соотношений и фактов, наиболее часто использующихся [1, 4]:
1)
()( ) ()
000
xfxxxfy +−
′
= – уравнение касательной к графику функции в точке
0
x ;
2)
()
()
()
0
0
0
xf
xf
xx
y +
′
−
−= – уравнение нормали, то есть прямой перпендикулярной, к графику функции в точке
0
x ;
3)
()
21
12
1
tg
kk
kk
+
−
=ϕ
– тангенс угла между прямыми
11
bxky
+
=
и
22
bxky
+
=
;
4)
21
kk = – условие параллельности двух прямых;
5)
1
21
−=kk – условие перпендикулярности двух прямых.
Пример. Найти в какой точке касательная к графику функции
y = x
3
– 2x + 3
перпендикулярна прямой
3y – 6x + 9 = 0.
Решение. Перепишем уравнение прямой в виде
y = 2x – 3.
Теперь мы видим, что необходимо найти точки, в которых касательная к графику заданной функции имеет угловой ко-
эффициент, равный –1/2. Для этого нужно решить уравнение
2
1
23
2
=−=
′
xy .
Находим два его решения
x = ±
6
5
.
Координаты по оси ОХ искомых точек найдены. Чтобы найти координаты по оси OY, найдем соответствующие значе-
ния функции. Получаем, что искомыми являются точки
Y
0
x
0
ϕ
1
(x)
ϕ
2
(x)
α
1
β
α
2

Страницы