Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

г)
() ()
()
b
xg
axfxq →= , исключая случай 0
=
= ba .
Аналогично, некоторые случаи, когда не выполняются условия теорем о пределах, приводят к неопределенностям, ко-
торые, если это возможно, раскрываются с помощью преобразований и замечательных пределов. Последние же в случае
функций записываются в виде.
Теорема 3.11 (первый замечательный предел)
1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
.
Теорема 3.12 (второй замечательный предел)
(
)
ex
x
x
=+
→
1
0
1lim .
Пример.
1. ...
cos1
lim
0
=
−
→
x
x
x
,
используем известную тригонометрическую формулу
...
2
2
sin
lim
2
sin2
lim...
2
0
2
0
=
=
=
→→
x
x
x
x
xx
;
теперь, по теореме о произведении пределов функций и первому замечательному пределу
001
2
sinlim
2
2
sin
lim...
00
=⋅=
=
→→
x
x
x
xx
.
2. ...
3
1lim =
−
∞→
x
x
x
,
сделаем замену переменных
x
t
3
= , тогда
() ()
.1lim1lim...
3
3
1
0
3
0
ett
t
x
t
x
=
−=−=
→→
3.8. Односторонние пределы и непрерывность функции
Можно рассмотреть предел функции, когда считается, что аргумент x стремясь к x
0
, все время остается больше, или на-
оборот – меньше, этого значения. Тогда говорят, что рассматривается односторонний предел. Их соответственно так и назы-
вают: правосторонний и левосторонний пределы: функции в точке, и используют обозначение
axf
xx
=
+→
)(lim
0
,
или соответственно,
axf
xx
=
−→
)(lim
0
.
Формально, определение, например, левостороннего предела формулируется так. Будем использовать подход Коши, так
как он является стандартным для математического анализа.
Определение 3.19 (предела функции слева). Число a называется пределом функции )(xfy = в точке x
0
слева, если
ε)(δ::0δ0ε
0
<−⇒<−∀>∃>∀ axfxxx .
Вычисление односторонних пределов функций мало отличается от вычисления обычных.
Пример. Найдем односторонние пределы функции
()
;
3при2ln
35при
3
10
;5при10
2
<+
≤<−
−
−≤+
=
xx
x
x
xx
y
,
в точках
5−=x и .3=x Находим
()
;510510lim
05
=
+−=+
−−→
x
x
;5
3
1025
3
10
lim
2
05
=
−
=
−
+−→
x
x

Страницы