Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1lim =
∞→
n
n
n
.
Следствие 3.2 (четвертый замечательный предел).
0
α
lim
α
=
∞→
n
n
n
, если 1α > .
Использование замечательных пределов при решении задач состоит в том, что исходные выражения с помощью алгеб-
раических преобразований приводят к виду, соответствующему одному из них. И используя этот предел, находят результат.
Пример.
1.
()
()
27
27
7
2/
7
7
2/
7
1
1lim
7
1
1lim
7
1lim
−
−
−
∞→
−
−
∞→∞→
=
−
+=
−
+=
− e
nnn
n
n
n
n
n
n
n
n
–
использован второй замечательный предел;
2.
....
2
1
lim
/2
=
+
∞→
n
n
n
n
– в соответствии с четвертым замечательным пределом, видим, что это неопределенность вида 0
0
.
Преобразуя, получаем
()
4
1
2
1
2
1
lim
2
1
lim...
2
2
2
2
=
=
+
=
+
=
∞→∞→
n
n
n
n
n
n
.
3.6. Понятие функции и способы ее задания.
Элементарные и сложные функции
Одним из важнейших понятий высшей математики является следующее.
Определение 3.14. Функцией f одного аргумента x называется закон, по которому однозначно сопоставляется каждому
числу
x
из некоторого допустимого множества D ( f ) ∈ R
1
, называемого областью определения этой функции, некоторое чис-
ло y ∈ R
1
, называемое значением функции. При этом пишут
(
)
xfy
=
.
Функции их значения и аргументы, как правило, обозначают строчными буквами латинского алфавита, например, обо-
значение
()
xfy = читается как «ИГРЕК равно функция ЭФ от ИКС». Здесь y – значение функции, f – сама функция, x – ее
аргумент. Говорят также, что функция f зависит от аргумента x.
Определение 3.15. Множество всех возможных значений функции называется областью значений этой функции, и
обычно обозначается V
(f).
Задать, или как говорят определить, функцию можно по-разному:
•
таблично, когда перечисляются все возможные значения аргумента и рядом записываются соответствующие значе-
ния функции. Ясно, что такой способ практивозможен только, если множество определения функции состоит из конечного
количества значений аргумента, и притом небольшого количества. Примерами могут служить различные таблицы, исполь-
зуемые, в частности, в экономике. Вроде соответствия процента перевыполнения плана и величины премии, и т.д.
•
графически, то есть с помощью изображения на чертеже соответствия между точками D (f) и точками V (f). Это изо-
бражение называется графиком функции, и говорят, что функция задана графически. Ясно, что такой способ возможен толь-
ко, если множество определения D
(f) функции является ограниченным. К тому же графическое задание является прибли-
женным. Тем не менее, оно широко используется, особенно в инженерной практике (различные справочные кривые и т.д.).
•
аналитически, то есть помощью формул. Например, y = x
2
, y = sin
3,5
(x – 17), или
>
−>≥+
−<−
=
,10при3
;510при)10/(1
;5при7
)(
3
x
xx
xx
xf
и т.д.
Аналитическое определение наиболее универсально, и поэтому в высшей математике почти всегда изучаются функции,
заданные именно таким образом.
Важным в теории функций является понятие элементарных функций. Основными элементарными функциями являются
следующие:
1.
Линейная: baxy += , где a, b – некоторые действительные числа.
2.
Степенная:
α
xy = , где α – некоторое действительное число.
3.
Показательная:
x
ay = , где a – некоторое положительное число.
4.
Логарифмическая: xy
a
log= , где так называемое основание логарифма a – положительное число, не равное едини-
це. В частности, при
ea = , получается, так называемый, натуральный логарифм xy ln
=
.
5.
Тригонометрические:

Страницы