Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Из этого определения следует, что
1) складывать можно только матрицы одинаковых размерностей;
2) сложение производится в любой последовательности, поэлементно.
Определение 1.5. Матрица C
mn
называется произведением матрицы A
mn
на число α, если ее элементы связаны с элемен-
тами матрицы A равенством
ijij
ac α=
, njmi ,1;,1 == . (1.1)
При этом пишут
.AC
α
=
Как следствие введенных операций можно определить вычитание матриц. В качестве упражнения, сделайте это само-
стоятельно.
Имеют место следующие очевидные свойства введенных операций:
1. А + В = В + А.
2. (А + В) + С = А + (В + С).
3.
()
BABA α+α=+α .
4.
() ()
AA ββ α=α .
5.
()
AAA ββ +α=+α .
Определение 1.6. Пусть имеется некоторое множество
Ψ
каких-либо элементов, для которых определены операции
сложения и умножения на число. Если результатом любой комбинации этих действий над элементами
Ψ
оказывается эле-
мент, принадлежащий
Ψ , то Ψ называется линейным пространством.
Введенное понятие является одним из центральных в высшей математике. Из вышесказанного следует, что множество
всех матриц конкретной размерности m × n является линейным пространством.
1.3. Умножение матриц
Очень важной является следующая операция.
Определение 1.7 (произведение матриц). Матрица C
m × n
называется произведением матриц A
mr
и B
rn
, если ее элементы
связаны с элементами матриц A и B равенством
∑
=
=
r
k
kjikij
bac
1
, njmi ,1;,1 == .
Из этого определения произведения матриц следует, что:
1. Можно перемножать только матрицы соответствующих размерностей, а именно, необходимо, чтобы количество
столбцов первого сомножителя было равно числу строк второго сомножителя.
2. Для того чтобы найти элемент этой матрицы – результат, стоящий в ее i-й строке и j-ом столбце, – нужно мысленно
i-ю строку первого матричного сомножителя приложить к j-му столбцу второго сомножителя, оказавшиеся рядом элементы
перемножить между собой и полученные произведения сложить. Таким образом должны быть вычислены по отдельности
все элементы образующие матрицу С.
3. Если перемножаемые матрицы не являются квадратными, то сомножители невозможно поменять местами (будет на-
рушено соответствие размерностей).
4. Даже если сомножители являются квадратными (при этом, с точки зрения размерности, их можно было бы переста-
вить) от перестановки мест сомножителей результат произведения матриц (в отличие от умножения чисел) может меняться.
Третье и четвертое замечания означают, что операция умножения матриц не является коммутативной.
Пример. Найти матрицу В = А
2
– 3А+5Е, где
=
−=
100
010
001
;
430
551
302
EA
.
Решение.
,
3133
2103
1894
430
551
302
430
551
302
2
−
−−=
−
−=⋅= AAA
.
500
050
005
5;
1290
15153
906
3
=
−−
−−
−−
=− EA

Страницы