Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Тогда
.
24123
17606
993
500
050
005
1290
15153
906
3133
2103
1894
−
−−=
+
−−
−−
−−
+
−
−−=B
Определение 1.8. Говорят, что элементы
{
}
,,min,1, nmia
ii
= матрицы A
mn
стоят на ее главной диагонали.
Определение 1.9. Квадратная матрица порядка n, элементы главной диагонали которой равны единице, а остальные
элементы – нулю, называется единичной матрицей порядка n.
Единичная матрица обычно обозначается через E
n
или I
n
. Таким образом, единичная матрица порядка n в общем случае
имеет вид
=
1.....00
....................
0.....10
0.....01
n
E
.
Важнейшим свойством единичной матрицы является следующее: для любых матриц соответствующих размерностей
имеет место
mnnmn
AEA
=
;
mnmnm
AAE
=
.
То есть единичная матрица для множества матриц играет ту же роль, что и единица для чисел.
Поскольку почти всегда в конкретных выражениях необходимый порядок единичной матрицы ясен, то его обычно не
пишут. Таким образом, через E (или I) обозначается единичная матрица соответствующей размерности.
Свойства операции умножения:
1. (АВ) С=А (ВС).
2. А (В+С)=АВ + АС.
3. (А + В) С = АС + ВС.
4. АВ ≠ ВС – некоммутативность.
1.4. Определители матриц. Вычисление определителей матриц
второго и третьего порядков
Определение 1.10. Определителем матрицы порядка 1 называется само это число.
Определение 1.11. Определителем, или детерминантом, квадратной матрицы A порядка n называется число, которое
обозначается и равно
det A =
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
....
................
....
....
21
22221
11211
=
∑
=
+
−
n
k
ikik
ki
Ma
1
)1( , (1.1)
где M
ik
– так называемый дополнительный минор элемента a
ik
матрицы A, то есть определитель квадратной матрицы, полу-
ченной из А вычеркиванием ее i-й строки и k-го столбца.
Из этого определения можно сделать несколько выводов:
1) понятие детерминанта определено только для квадратных матриц;
2) данное определение носит рекурентный характер (то есть ссылается на самого себя), а именно, в соответствии с
ним, определитель n-го порядка определяется через n определителей n-1 порядка. Однако, в этом нет ни противоречия, ни
замкнутого круга, так как снижая на каждом шаге порядок необходимых определителей на 1, мы дойдем до 1-го порядка и
используем определение 1.10;
3) в определении не задано конкретного значения i – номера строки, по которой, как говорят, производится разложе-
ние определителя; оказывается он может быть любым, результат от этого не изменится. Более того, будет получен тот же
результат, если разложение определителя провести и по любому столбцу.
Понятие определителя играет важную роль в изучаемой теории матриц и линейных систем уравнений.
Определение 1.12. Матрица А называется вырожденной или особенной, если
det A = 0.
Рассмотрим, какой результат дает введенное определение для матриц второго и третьего порядков.

Страницы