Высшая математика: краткий курс для экономистов. Солопахо А.В. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Уже из сравнения формул определителей 2-го и 3-го порядков можно догадаться, насколько более громоздкими ока-
жутся соответствующие формулы для определителей матриц более высоких порядков. Так, например, формула определителя
4-го порядка будет содержать 24 слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение четырех чисел. Ясно, что
подобные формулы запомнить весьма сложно, к тому же они не имеют удобных геометрических интерпретаций. Поэтому, в
действительности, для расчета определителей высших порядков используют совсем другую методику, основанную на сле-
дующем понятии.
Определение 1.13. Элементарным преобразованием строк матрицы называют действие, заключающееся в прибавлении
к некоторой строке этой матрицы любой другой ее строки, быть может, умноженной на некоторое число γ. Прибавляемая
строка при этом не изменяется.
Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов матрицы. Следует четко запомнить, что при преоб-
разованиях строк можно прибавлять только строки. А при преобразованиях столбцов – только столбцы.
Оказывается справедлива теорема.
Теорема 1.1. При элементарных преобразованиях определитель матрицы не изменяется.
Попытаемся частично доказать справедливость этого утверждения. За основу при этом необходимо принять следующий
факт.
Лемма 1.1. Если в квадратной матрице поменять местами любые две строки, или любые два столбца, то ее определи-
тель, сохранив абсолютное значение (то есть его модуль не изменится) изменит знак, на противоположный.
К сожалению, доказательство этого факта [2] достаточно громоздко и, к тому же, основано на использовании так назы-
ваемого принципа математической индукции – приема недостаточно хорошо известного большинству выпускников средних
школ. Поэтому примем эту важную лемму без доказательства.
Из этой леммы в частности получаем.
Следствие 1. Если в некоторой квадратной матрице имеется две одинаковые строки, или два одинаковых столбца, то
ее определитель равен нулю.
Доказательство. Поменяем местами эти две строки, тогда, с одной стороны, определитель этой матрицы очевидно не
изменится. А с другой, он должен изменить знак, в соответствии с леммой 1. Одновременно это возможно только, если он
равен нулю.
Теперь докажем теорему 1.1.
Доказательство (теоремы 1.1). Прибавим к некоторой строке q матрицы A какую-нибудь другую ее строку p, умно-
женную на некоторое число γ. Обозначим преобразованную таким образом матрицу как
A
~
. Тогда, раскладывая определи-
тель
(
)
A
~
det , по преобразованной строке получаем
(
)
=A
~
det
()
∑∑∑
=
+
=
+
=
+
=−γ+−=+−=
n
k
ikk
ki
n
k
ikk
ki
n
k
ikkk
ki
MpMqMpq
111
)1()1(γ)1(
)(detγ)(det
p
AA +=
,
где через
p
A
обозначена матрица, отличающаяся от A тем, что у нее вместо строки q стоит строка p. Но тогда ясно, что
0)(det
=
p
A
.
Что и доказывает теорему.
Из теоремы 1.1 вытекает следующая методика вычисления определителей высших порядков:
1) посредством элементарных преобразований строк и столбцов исходной матрицы следует добиться того, чтобы в ка-
кой-нибудь ее строке или столбце остался бы только один ненулевой элемент (если матрица невырожденная, то обнулить все
элементы какой-либо строки или столбца не удастся);
2) после этого раскладывая определитель по этой строке (или столбцу), мы получим, что необходимо вычислить лишь один
минор, так как значения всех других не играют роли, поскольку они все равно умножатся на нули;
3) то есть задача свелась к вычислению определителя, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного. Можно
и далее снижать порядок определителя подлежащего вычислению, и дойти, таким образом, до третьего или даже второго
порядка, и тогда уже применить вышеуказанные формулы.
Ясно, что эта методика дает тем большую экономию в вычислениях, чем выше порядок искомого определителя. При ее
использовании целесообразно придерживаться следующих рекомендаций:
1) желательно обнулять элементы той строки, или столбца, в которой уже имеется наибольшее количество нулей, – это
уменьшит количество необходимых вычислений;
2) желательно, чтобы в качестве единственного ненулевого элемента обнуляемой строки (или столбца) оставалась бы
единица, или минус единица, – это уменьшит количество возникающих дробей.
Пример. Рассмотрим вычисление определителя матрицы

Страницы