Специальная математика. Соловьев А.Е. - 15 стр.

                              1.8.1. Диаграммы Хассе

Диаграммы Хассе используются для того, чтобы за счет принятых по умолчанию
соглашений облегчить графическое представление частично-упорядоченных множеств.
Пример изображения частичного порядка (устанавливаемого отношением включения) для
множества
{, {0}, {1}, {0,1}}

          {0}                               {0,1}


                                     {0}             {1}

                                                            диаграмма
                                                            Хассе
                                            
{1}        {0,1}

По умолчанию на диаграмме Хассе:
«Стрелки» направлены снизу вверх.
Не отображается рефлексивность.
Не отображаются транзитивные замыкания.

                              1.8.2. Понятие решетки

Пусть рассматриваемые далее множества А и В - чум.
Наибольшим (наименьшим) элементом аА называется элемент а, если         а  () х, где х
 А.

Теорема: Если в множестве А существует наибольший элемент, то он единственный.
Доказательство: Предположим, что существуют два наибольших элемента а1 и а 2, тогда :

      }
 а1  а2
 а2  а1
          а1 = а2;

Максимальным (минимальным) элементом множества А называется элемент аА, когда
неверно, что а  ()х, где х  А.

Мажорантой (минорантой) множества В (такого что   В  А) является
 элемент а  А, такой что элемент а является наибольшим (наименьшим) элементом для
множества В.

Множество мажорант (минорант) множества В образует верхнюю (нижнюю) грань
множества В.

 Наименьший элемент верхней грани называется точной верхней гранью или Supremum
(Sup).

Наибольший элемент нижней грани называется точной нижней гранью или Infimum (Inf).



                                       — 15 —