Специальная математика. Соловьев А.Е. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

3. Сравним мощность множества N и множества Q.
0 1 -1 2 -2 3 -3 ...
1 1 1 1 1 1 1
0 1 -1 2 -2 3 -3 ... В эту сетку попадут все рациональные числа.
2 2 2 2 2 2 2
0 1 -1 2 -2 3 -3 ...
3 3 3 3 3 3 3
.
.
.
Мощность Q также равна мощности N.
1.9.4. Мощность множества R.
Теорема Кантора
Аналогом мощности действительных (вещественных) чисел служит множество точек
на отрезке действительной оси или на всей действительной оси.
Равномощность различных отрезков, а также отрезка и всей прямой показаны на рисунках.
Теорема Кантора.
N < R (
0
<
1
)
Доказательство.
1. Поскольку множество R имеет такую же мощность, как и любой отрезок R, то будем
рассматривать отрезок между 0 и 1. Числа будут представляться в виде бесконечных
десятичных дробей. Конечные дроби для однозначности будут заменяться своими
бесконечными аналогами. Например, 0.45 = 0.4499999…
Допустим, что каким-то образом установлено взаимно-однозначное соответствие между
числами отрезка от 0 до 1 и множеством N.
0, а
1
1
, а
2
1
, а
3
1
......
0, а
1
2
,а
2
2
, а
3
2
......
0, а
1
3
,а
2
3
,а
3
3
...
— 19 —
a
b
c
d
О
a
b
c
d
О
3. Сравним мощность множества N и множества Q.

01       -1 2        -2   3 -3 ...
1 1        1 1          1   1 1

0  1 -1 2 -2 3 -3 ...                      В эту сетку попадут все рациональные числа.
2  2 2  2  2 2 2

0 1 -1 2 -2 3 -3 ...
3 3 3 3   3 3 3
.
.
.

Мощность Q также равна мощности N.


                                  1.9.4. Мощность множества R.
                                           Теорема Кантора

Аналогом мощности действительных (вещественных) чисел служит множество точек
на отрезке действительной оси или на всей действительной оси.
Равномощность различных отрезков, а также отрезка и всей прямой показаны на рисунках.

                                       О
   a           b
                                       a       b

   c                    d
                                       c             d
                   О




Теорема Кантора.

N < R (0 < 1)
Доказательство.
1. Поскольку множество R имеет такую же мощность, как и любой отрезок R, то будем
рассматривать отрезок между 0 и 1. Числа будут представляться в виде бесконечных
десятичных дробей. Конечные дроби для однозначности будут заменяться своими
бесконечными аналогами. Например, 0.45 = 0.4499999…
  Допустим, что каким-то образом установлено взаимно-однозначное соответствие между
числами отрезка от 0 до 1 и множеством N.


  0, а11, а21, а31 ......
  0, а12,а22, а32 ......
  0, а13,а23,а33 ...

                                                — 19 —

Страницы