Специальная математика. Соловьев А.Е. - 6 стр.

                              1. Теория множеств
                              1.1 Понятие множества

Множество - фундаментальное неопределяемое понятие. Множество понимается как
объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или мыслью.

Теорию множеств можно подразделить на аксиоматическую и интуитивную (наивную).
 Аксиоматическая теория исходит из того, что множество определяется совокупностью
аксиом, записанных обычно на языке логики (предикатов). Интуитивная теория множеств
апеллирует к интуиции, к базовому понятию принадлежности элемента множеству, то есть
к интуитивной понятности отношения принадлежности  ( а  A - элемент а принадлежит
множеству A).
Для интуитивного понятия множества существенны два момента, следующие из
"определения":
1. Различимость элементов.
2. Возможность мыслить их как нечто единое.
Студенты образуют группу. Деревья составляют лес.
Целые числа составляют множество целых чисел.
Жители Марса - множество марсиан.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначается 
или . Обычно именно фигурные скобки используются для выделения множества
(отсутствие элементов в скобках и говорит о том, что это пустое множество).
Множество, заведомо содержащее все рассматриваемые элементы, называется
универсальным или универсумом - U.
Было бы опрометчиво говорить просто, что U содержит все элементы. К сожалению, имеют
место так называемые парадоксы теории множеств. Самый знаменитый – парадокс
Рассела, который показывает невозможность построить множество всех подмножеств, не
содержащих себя в качестве элемента. Более прост в понимании парадокс брадобрея,
которому приказано брить в тридевятом государстве всех тех и только тех, кто не бреется
сам. Перед брадобреем неразрешимый вопрос:
Включать ли самого себя в множество тех, кого он обязан брить?!

Способы задания множеств:
 A = {a, b, c, d} - задание множества явным перечислением элементов.
Например, гвардия = {Иванов, Петров, Сидоров}
 B = {x | С(x)} - задание множества (характеристическим) свойством С(x).
Например, студенчество = {x | x - студент} - множество таких х, что х - студент.

Отношение включения  . Множество А включено в множество В (А  В) или А есть
подмножество множества В, если из х  А следует х  В.
Например, студенческая группа  студенты данной специальности
Отношение строгого включения : Если A  B и A  B , то можно написать
 A  B.

Например:   множество отличников
Кстати, на что намекает это отношение?

Свойства отношения включения:
1. Рефлексивность: A  A

                                         —6—