Специальная математика. Соловьев А.Е. - 61 стр.

                        a2 = 900     В качестве операции - доворачивание.
                        a3 = 1800    Выполняются все законы для группы.
                        a4 = 2700
1               2
Например, а1  а2 = а2; а2  а2 = а3; а3  а3 = а1
Популярны со времен Галуа и так называемые подстановки. Можно записать подстановки,
соответствующие каждому из четырех вращений предыдущего примера:

 1 2 3 4     1 2 3 4     1 2 3 4   1 2 3 4
                                           
 1 2 3 4     4 1 2 3     3 4 1 2   2 3 4 1
А в качестве операции взять композицию подстановок. Например,

 1 2 3 4       1 2 3 4     1 2 3 4
                         =         
 2 3 4 1       2 3 4 1     3 4 1 2


В результате также получится группа.

Возьмем корни уравнения x4 – 1 = 0
{1, i, -1, -i} - группа по операции умножения.

Таким образом, мы рассмотрели несколько конечных групп, содержащих по четыре
элемента. Эти группы изоморфны между собой.
Например, можно отобразить друг в друга «единичные» элементы:
                   1 2 3 4
     а1  0  
             0
                             1
                   1 2 3 4


Так что речь может идти об абстрактных группах, то есть о таких группах, для которых
конкретное множество и конкретная операция несущественны.

Пусть f - некоторое отображение элементов одной группы в другую или в ту же самую и
          f (a  b) = f(a)  f(b) a,b  G; f(a), f(b)  b2.
то говорят, что f - гомоморфизм.
   Если f(a)=F(b), тогда и только тогда, когда a = b, то имеем изоморфизм (однозначный
гомоморфизм).
Гомоморфизм группы в себя называется эндоморфизмом.
Инъективный гомоморфизм называется мономорфизмом.
Сюръективный гомоморфизм называется эпиморфизмом.
Изоморфизм в себя называется автоморфизмом.
Пример : { . . .-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . }

            { . . .-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, . . . }   - эндоморфизм, эпиморфизм, мономорфизм,
изоморфизм, автоморфизм.

                     5.3. Инвариантные (нормальные) подгруппы


                                                — 61 —