Специальная математика. Соловьев А.Е. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

5.4. Группа Диэдра (D
3
)
D
3
= {I, a, a
2
, b, ba, ba
2
}
Для этой группы будут следующие определяющие соотношения:
a
3
= b
2
= (ba)
2
= I
b
Таблица умножения данной группы:
а
I a a
2
b ba ba
2
I I a a
2
b ba ba
2
a a a
2
I ba
2
b ba
a
2
a
2
I a ba ba
2
b
b b ba ba
2
I a a
2
ba ba ba
2
b a
2
I a
ba
2
ba
2
b ba a a
2
I
В каждой строке и каждом столбце элементы не повторяются.
a. H = {I, B} пусть f(I) = f(b) = I - некоторый гомоморфизм
a = Ia = (ba)
2
a = babaa = baba
2
f(a) = f(baba
2
) = f(b) f(a) f(a) f(b
2
) = f(a)f(a
2
) = (по предположению f(b) = I )
= f(a
3
) = f(I) = I
f(a
2
) = f(a) f(a) = I I = I
f(ba) = f(b) f(a) = I I = I
f(ba
2
) = f(b) f(a
2
) = I I = I
Т.е. всю группу D
3
можно отобразить в единичный элемент.
а) f f
H = {I, b} D
3
G : D
3
I
K = {I, a, a
2
} f f
D
3
G: D
3
{I, f(b)}
f(I) = f(a) = f(a
2
) = I
I
f(ba) = f(b)f(a) = f(b)
f(ba
2
) = f(b) = f(b)f(b) = f(b
2
) = I
Группы, имеющие единственный (отличный от единицы) элемент такой, что какая-то
степень этого элемента дает I, называется циклической группой n-ой степени.
Если для какой-то группы мы осуществляем гомоморфное отображение, причем какая-
то ее подгруппа целиком отображается в единичный элемент группы, то такая подгруппа
есть ядро гомоморфизма. Обозначается f
—1
(I).
— 63 —
                                       5.4. Группа Диэдра (D3)

                                D3 = {I, a, a2, b, ba, ba2 }
                          Для этой группы будут следующие определяющие соотношения:
                                  a3 = b2 = (ba)2 = I
b



                              Таблица умножения данной группы:

             а
             I     a     a2      b     ba    ba2
      I      I     a     a2      b     ba    ba2
      a     a     a2     I     ba2      b    ba
     a2     a2     I     a     ba      ba2    b
      b     b    ba     ba2     I       a     a2
     ba    ba    ba2     b      a2      I     a
    ba2    ba2    b     ba      a       a2    I

В каждой строке и каждом столбце элементы не повторяются.
a. H = {I, B} пусть f(I) = f(b) = I - некоторый гомоморфизм
 a = Ia = (ba)2a = babaa = baba2
 f(a) = f(baba2) = f(b) f(a) f(a) f(b2) = f(a)f(a2) = (по предположению f(b) = I )
 = f(a3) = f(I) = I
 f(a2) = f(a) f(a) = I I = I
 f(ba) = f(b) f(a) = I I = I
 f(ba2) = f(b) f(a2) = I I = I

Т.е. всю группу D3 можно отобразить в единичный элемент.

а)                                f         f
H = {I, b}                    D3  G : D3  I
K = {I, a, a2}                   f        f
                              D3  G: D3  {I, f(b)}

f(I) = f(a) = f(a2) = I
                  I
f(ba) = f(b)f(a) = f(b)
f(ba2) = f(b) = f(b)f(b) = f(b2) = I

      Группы, имеющие единственный (отличный от единицы) элемент такой, что какая-то
степень этого элемента дает I, называется циклической группой n-ой степени.
     Если для какой-то группы мы осуществляем гомоморфное отображение, причем какая-
то ее подгруппа целиком отображается в единичный элемент группы, то такая подгруппа
есть ядро гомоморфизма. Обозначается f —1(I).



                                                   — 63 —

Страницы