Специальная математика. Соловьев А.Е. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

Группа H называется подгруппой группы G, если она состоит из элементов группы G и сама
является группой.
Элемент c=b
-1
ab называется трансформацией элемента а с помощью элемента b. При этом
элементы с и а называются сопряженными.
b
-1
- обратный элемент для b.
Здесь а и b - элементы группы, а обычное (необозначаемое) умножение, фактически,
групповая операция.
Если b
-1
a b = а, то ab = ba (т.к. данная группа абелева, следовательно, коммутативна).
Доказательство: умножим b
-1
ab = a слева и справа от знака равенства на b:
bb
-1
ab = ba
Теорема: Трансформация разбивает группу на классы сопряженных элементов.
Доказательство:
1. Рефлексивность : a = 1
-1
a1
2. Симметричность : c = b
-1
ab
bcb
-1
= bb
-1
abb
-1
bcb
-1
= a
(b
-1
)
-1
cb
-1
= a ,пусть B = b
-1
B
-1
cB = a, т.е. если а - трансформация с, то с - трансформация а
3. Транзитивность: c = b
-1
ab, c=d
-1
cd
e = d
-1
b
-1
abd
e = (bd)
-1
abd
e = D
-1
aD bdd
-1
b
-1
=1, (bd)
-1
(bd)= 1 d
-1
b
-1
= (bd)
-1
Теорема: Трансформация подгруппы H элементом bG есть подгруппа группы G,
изоморфная Н.
Доказательство:
1. C
1
= b
-1
x
1
b
C
2
= b
-1
x
2
b , x
1
, x
1
H
C
1
C
2
= b
-1
x
1
bb
-1
x
2
b
2. b
-1
1b = 1 (т.е. 1 исходной группы остается 1 полученной группы )
3. a = b
-1
xb
a
-1
= (b
-1
xb)
-1
= b
-1
x
-1
(b
-1
)
-1
= b
-1
x
-1
b
Т.е. в результате ( 1- 3) мы получаем группу, причем эта процедура сохраняет
функциональность, сюръективность, всюду определенность, инъективность, т.е. полученная
группа изоморфна исходной.
a
2
ab = a
2
b
b ba
2
= ab
I a
Подгруппа К группы G называется инвариантной (нормальной), если трансформация
любого элемента подгруппы К с помощью любого элемента этой группы дает снова элемент
подгруппы К.
K = { I, a, a
2
} - подгруппа некоторой группы G
ab = ba
2
= ba
-1
( или a
2
a = I / *a
-1
, a
2
aa
-1
= Ia
-1
, a
2
= a
-1
)
b
-1
ab = b
-1
ba
-1
b
-1
ab = a
-1
( = a
2
) - трансформация элемента а с помощью элемента b и она есть элемент
группы.
— 62 —
Группа H называется подгруппой группы G, если она состоит из элементов группы G и сама
является группой.
Элемент c=b-1ab называется трансформацией элемента а с помощью элемента b. При этом
элементы с и а называются сопряженными.
b-1 - обратный элемент для b.
Здесь а и b - элементы группы, а обычное (необозначаемое) умножение, фактически,
групповая операция.
Если b-1 a b = а, то ab = ba (т.к. данная группа абелева, следовательно, коммутативна).
Доказательство: умножим b-1ab = a слева и справа от знака равенства на b:
                          bb-1ab = ba
Теорема: Трансформация разбивает группу на классы сопряженных элементов.
Доказательство:
 1. Рефлексивность : a = 1-1a1
 2. Симметричность : c = b-1ab 
                              bcb-1 = bb-1abb-1
                              bcb-1 = a
                              (b-1)-1cb-1 = a ,пусть B = b-1
                              B-1cB = a, т.е. если а - трансформация с, то с - трансформация а
 3. Транзитивность: c = b-1ab, c=d-1cd
                           e = d-1b-1abd
                           e = (bd)-1abd
                           e = D-1aD            bdd-1b-1 =1, (bd)-1 (bd)= 1  d-1b-1 = (bd)-1
Теорема: Трансформация подгруппы H элементом bG есть подгруппа группы G,
изоморфная Н.
Доказательство:
1. C1= b-1x1b
    C2= b-1x2b , x1 , x1 H
    C1C2= b-1x1bb-1x2b
2. b-11b = 1 (т.е. 1 исходной группы остается 1 полученной группы )
3. a = b-1xb
    a-1 = (b-1xb)-1 = b-1x-1(b-1)-1 = b-1x-1b
      Т.е. в результате ( 1- 3) мы получаем группу, причем эта процедура сохраняет
функциональность, сюръективность, всюду определенность, инъективность, т.е. полученная
группа изоморфна исходной.

                          a2
                          ab = a2b

                   b         ba2= ab

         I                             a

Подгруппа К группы G называется инвариантной (нормальной), если трансформация
любого элемента подгруппы К с помощью любого элемента этой группы дает снова элемент
подгруппы К.
K = { I, a, a2 } - подгруппа некоторой группы G
ab = ba2 = ba-1 ( или     a2  a = I / *a-1 , a2aa-1 = Ia-1 , a2 = a-1 )
 -1      -1  -1
b ab = b ba
b-1ab = a-1 ( = a2) - трансформация элемента а с помощью элемента b и она есть элемент
группы.



                                           — 62 —

Страницы