Теория вероятностей и математическая статистика. Соппа М.С - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

31
P({X<3}) = 0.4 + 0.24, поэтому при 2<х ≤ 3 F(x) = 0.64.
P({X<t})
t>3
= 0.4 + 0.24 + 0.36, поэтому при 3 < х F(x) = 1.
Построим эту кусочно заданную (ступенчатую) функцию графи-
чески:
Наконец, P({X ≤ 2}) = 0.4 + 0.24, что следует из закона рас-
пределения.
Свойства функции распределения
1. 0 ≤ F(x) ≤ 1.
2. Достигаются ли эти крайние значения? В пределе – всегда
(функция распределения определена на всей числовой оси):
F(
∞−
) = 0, F(
∞
) = 1.
3. F – монотонно неубывающая функция (может только воз-
растать и не может убывать). Это легко доказать по определению.
4. Полезность введенного определения функции распределе-
ния обусловлена следующим очень важным свойством, позволяю-
щим через нее вычислять вероятность попадания случайной вели-
чины Х на заданный интервал ),[
β
α
: Р(Х ),[
β
α
∈
) = F(β) – F(α).
(Аналог формулы Ньютона–Лейбница в интегральном исчисле-
нии.)
Вопросы для самопроверки
1. Чем случайная величина отличается от случайного со-
бытия?
2.
Чем отличается дискретная случайная величина от не-
прерывной?
F
(x)
x
32
3.
Дать определение закона (ряда) распределения дискрет-
ной случайной величины.
4.
Какая случайная величина называется биномиально рас-
пределенной?
5.
Дать определение математического ожидания случайной
величины и объяснить его теоретико-вероятностный
смысл.
6.
Указать свойства математического ожидания.
7.
Дать определение дисперсии случайной величины и
объяснить теоретико-вероятностный смысл этого поня-
тия.
8.
Сформулировать свойства дисперсии.
9.
Что называется функцией распределения случайной ве-
личины?
10.
Сформулировать свойства функции распределения.
1.5. Непрерывные случайные величины
Непрерывной случайной величиной называется случайная
величина, значения которой покрывают сплошным образом це-
лый интервал на числовой оси, и функция распределения кото-
рой является кусочно-дифференцируемой функцией. Например,
температура, замеренная в какой-либо точке пространства. Ее
значения изменяются непрерывным образом. Другой пример –
вес случайно взятого человека.
Плотность вероятности непрерывной
случайной величины
Непрерывные случайные величины исчерпывающим обра-
зом описываются производной от функции распределения, на-
зываемой функцией плотности вероятности: р(х) =
dx
d
F(x).
В свою очередь, зная р(х), можно найти F(x) через интеграл:
F(x) =
∫
∞−
x
dxхр )(
. 
P({X<3}) = 0.4 + 0.24, поэтому при 2<х ≤ 3 F(x) = 0.64.                     3. Дать определение закона (ряда) распределения дискрет-
P({X3 = 0.4 + 0.24 + 0.36, поэтому при 3 < х F(x) = 1.                    ной случайной величины.
Построим эту кусочно заданную (ступенчатую) функцию графи-                  4. Какая случайная величина называется биномиально рас-
чески:                                                                          пределенной?
                                                                            5. Дать определение математического ожидания случайной
           F(x)                                                                 величины и объяснить его теоретико-вероятностный
                                                                                смысл.
                                                                            6. Указать свойства математического ожидания.
                                                                            7. Дать определение дисперсии случайной величины и
                                                                                объяснить теоретико-вероятностный смысл этого поня-
                                                                                тия.
                                            x                               8. Сформулировать свойства дисперсии.
                                                                            9. Что называется функцией распределения случайной ве-
                                                                                личины?
    Наконец, P({X ≤ 2}) = 0.4 + 0.24, что следует из закона рас-            10. Сформулировать свойства функции распределения.
пределения.
                                                                                       1.5. Непрерывные случайные величины
                Свойства функции распределения
     1. 0 ≤ F(x) ≤ 1.                                                        Непрерывной случайной величиной называется случайная
     2. Достигаются ли эти крайние значения? В пределе – всегда          величина, значения которой покрывают сплошным образом це-
(функция распределения определена на всей числовой оси):                 лый интервал на числовой оси, и функция распределения кото-
F( − ∞ ) = 0, F( ∞ ) = 1.                                                рой является кусочно-дифференцируемой функцией. Например,
     3. F – монотонно неубывающая функция (может только воз-             температура, замеренная в какой-либо точке пространства. Ее
растать и не может убывать). Это легко доказать по определению.          значения изменяются непрерывным образом. Другой пример –
     4. Полезность введенного определения функции распределе-            вес случайно взятого человека.
ния обусловлена следующим очень важным свойством, позволяю-
щим через нее вычислять вероятность попадания случайной вели-                       Плотность вероятности непрерывной
чины Х на заданный интервал [α , β ) : Р(Х ∈ [α , β ) ) = F(β) – F(α).                         случайной величины
(Аналог формулы Ньютона–Лейбница в интегральном исчисле-                     Непрерывные случайные величины исчерпывающим обра-
нии.)                                                                    зом описываются производной от функции распределения, на-
                                                                                                                             d
                Вопросы для самопроверки                                 зываемой функцией плотности вероятности: р(х) =       F(x).
                                                                                                                            dx
    1. Чем случайная величина отличается от случайного со-
                                                                          В свою очередь, зная р(х), можно найти F(x) через интеграл:
       бытия?                                                                      x
    2. Чем отличается дискретная случайная величина от не-               F(x) =   ∫− ∞ р( х)dx .
       прерывной?

                                 31                                                                    32

Страницы