Теория вероятностей и математическая статистика. Соппа М.С - 16 стр.

          Cвойства функции плотности вероятности
    1. р(х) ≥ 0, как производная от монотонно возрастающей                   P(x)
функции.
    2. Площадь под графиком плотности вероятности равна
единице:
                             +∞

                             ∫ р( х)dx = 1 .                                                             x
                             −∞
    3. Функция плотности вероятности позволяет находить ве-       Для случайной величины N(0, 1), являющейся важнейшей и
роятность попадания случайной величины на заданный интервал   всесторонне изученной, практически применяемой случайной
(см. свойство 4 функции распределения): Р(Х ∈ [α, β ] ) =     величиной, составлены подробные таблицы вероятностей, с ко-
    β
                                                              торыми она попадает в те или иные интервалы значений. Так,
=   ∫ р( х)dx .                                                                                             1 x
                                                                                                               ∫ ехр(− х / 2)dx –
    α                                                                                                                      2
                                                              Р({0 < N(0, 1) < х}) = Ф(х), где Ф(х) =
   Осуществляя предельные переходы в определениях важ-                                                      2π 0
нейших числовых характеристик случайных величин, получим      интегральная функция Лапласа. Таблицы значений этой функ-
формулы для вычисления математического ожидания непре-        ции имеются в каждом учебнике по теории вероятностей и ма-
рывной случайной величины:                                    тематической статистике. В свою очередь
                                        +∞
                                                                       Р({ α < N(a, σ ) < β }) = Р(N(a, σ ) ∈ [α , β ] ) =
                       M (X ) =         ∫ xр( х)dx                            = Ф(( β –а)/ σ ) – Ф(( α –а)/ σ ).
                                        −∞
и дисперсии непрерывной случайной величины:                       Многие исследуемые на практике случайные величины
                             +∞                               очень хорошо моделируются с помощью нормальных случайных
                             ∫x
                                  2
                  D( X ) =            р( х)dx − M 2 ( X ) .   величин. Это, например, таблицы значений проб прочности бе-
                             −∞                               тона в теории железобетонных конструкций, ошибки результа-
                                                              тов измерений теодолитом в геодезии, разброс скоростей и энер-
                  Нормальное распределение                    гий молекул в газе (при изучении курса физики – кривая Гаусса),
    Нормальной случайной величиной Х = N(a, σ ) называется    рост или вес случайно взятого человека. Другим примером слу-
непрерывная случайная величина, имеющая плотность вероят-     жит какой-либо экономический показатель, величина которого
ности следующего вида:                                        описывается взаимодействием большого числа независимых
                       1                                      друг от друга причин и факторов.
              р(х) =       ехр ( − ( х − а ) 2 / (2σ 2 ) ).
                      2π σ
Параметры a и σ носят простой смысл – это математическое                           Правило трех сигм
ожидание и среднеквадратичное отклонение: а = М(N(а, σ )),        Нормальные случайные величины достаточно компактно
σ 2 = D(N(а, σ )). График плотности вероятности нормальной    принимают подавляющую часть значений в небольшой окрестно-
                                                              сти своего математического ожидания. Пользуясь таблицами ин-
случайной величины носит название кривой Гаусса, имеющей
                                                              тегральной функции Лапласа, можно определить радиус или по-
вертикальную ось симметрии, проходящую через точку а:
                              33                                                              34