Теория вероятностей и математическая статистика. Соппа М.С - 18 стр.

             Свойства коэффициента корреляции                         последовательность сходится по вероятности к случайной вели-
    1. –1 ≤ rxy ≤ 1, (| rxy | ≤ 1).                                                                   р
                                                                      чине Y (обозначается Х n → Y ), если lim P ({| X n − Y | < ε}) = 1
     2. Если случайные величины Х и Y являются независимыми                                         n →∞                       n→∞

(не влияют друг на друга) то rxy = 0. В практически важных слу-       при любом, сколь угодно малом ε > 0 .
чаях верно и обратное утверждение.                                        Лемма Чебышева. Для любой случайной величины Х спра-
     3. Если rxy = +1 (–1), то между Х и Y существует сильная         ведливо неравенство
(линейная) зависимость по типу Х = а Y + в. Если а > 0, то зави-                      Р(| Х –М(Х) | > ε ) ≤ D(X)/ ε 2 ,
симость прямая (положительная корреляция), а если а < 0, то           дающее количественную оценку вероятности отклонения слу-
имеет место обратная зависимость.                                     чайной величины от своего математического ожидания.
    Задача. Двумерная случайная величина (Х, Y) задана своим
законом распределения:                                                          Закон больших чисел в форме Чебышева
          Y         0         –1       Требуется найти коэффи-            Пусть имеется последовательность попарно независимых
        Х                              циент корреляции данной        случайных величин Х1, Х2, …, Хn, … с ограниченными диспер-
          3    (3, 0)     (3, –1)      системы случайных вели-        сиями (D(Хi) ≤ C равномерно по i). Тогда среднее арифметиче-
                      1/2      1/12    чин.                           ское этих случайных величин сходится по вероятности к сред-
          2    (2, 0)     (2, –1)                                     нему арифметическому их математических ожиданий:
                     1/12       1/3                                                                                 р    n
                                                                                   ( X 1 + X 2 + ... + Х n ) / n → (∑ M ( X i )) / n
                                                                                                                n→∞
     Решение. Составим закон распределения компонент Х и Y,                                                             i =1

пользуясь формулами (4) и (5).                                        и, следовательно, асимптотически уже не является случайной
    Х        3       2             Y         0        –1              величиной.
    р        7/12    5/12          р         7/12     5/12
 M(X) = 3·7/12+2·5/12 = 31/12, M(Y) = 0·7/12+(–1)·5/12 = –5/12.                    Следствия из закона больших чисел
 D(X) = 9·7/12+4·5/12 – 961/144 = (996 – 961)/144 = 35/144,               Следствие 1. Рассмотрим ситуацию, когда все Хi равны друг
 D(Y) = 0·7/12+1·5/12 – 25/144 = (60 – 25)/144 = 35/144.              другу (Хi = Хj). Из закона больших чисел следует, что среднее
 M(X·Y) = 3·0·1/2+3·(–1)·1/12+2·0·1/12+2·(–1)·1/3 = –1/4–2/3 =        арифметическое большого количества значений случайной ве-
 = –(3+8)/12 = –11/12.                                                личины (так называемое осреднение) сходится по вероятности к
                                                                                                                р
По формуле (6) окончательно получаем:                                 математическому ожиданию: X → М ( Х ) .
                                                                                                            n→∞
rxy = (М(Х·Y)–М(Х)·М(Y))/ D( X ) D(Y ) = (–11/12+ (5/12) ·(31/12))/
                                                                          Следствие 2. Теорема Бернулли. Данная теорема позволяет
 35 / 144 ⋅ 35 / 144 = (155/144–11/12)·144/35 =                       на основе наблюдений над случайной величиной приближенно
= (23/144)·(144/35) = 23/35 ~ 0.66.                                   определить вероятность случайного события А. Рассмотрим це-
                                                                      почку n одинаковых опытов, в каждом из которых событие А
         Предельные теоремы теории вероятностей                       может произойти с вероятностью р. Введем биномиальную слу-
    Сходимость по вероятности. Пусть имеется последователь-           чайную величину Sn, как количество появлений события А в этой
ность случайных величин Х1, Х2, …, Хn, … . Говорят, что данная        цепочке испытаний (или как число опытов, в которых событие А
                                37                                                                         38