Теория вероятностей и математическая статистика. Соппа М.С - 19 стр.

произошло). Sn, называемую еще частотой, можно рассматривать
как сумму большого числа одинаковых слагаемых Sni, индикато-                                                      р

ров факта появления события А в i-м испытании. Очевидно, что                   Значит ( S n − np) / np(1 − p) → N (0, 1) , откуда
                                                                                                               n→∞
М(Sni) = р, так как
                                                                           Р({α < Sn < β }) ~ Ф((β – np) /   np(1 − p) ) – Ф((α – np) / np(1 − p) ).
                        Sni  0      1

                              p        1− p        p
    Случайная величина S n / n называется относительной час-                                 Вопросы для самопроверки
                                                                               1. Какая случайная величина называется непрерывной слу-
тотой, для нее из закона больших чисел следует:                                   чайной величиной?
                                              р    n
             S n / n = ( S n1 + ... + S nn ) / n → (∑ p ) / n = p ( А) .       2. Как связаны между собой функция распределения и
                                           n→∞
                                                  i =1                            функция плотности вероятности?
    Значит приближенное значение вероятности случайного со-                    3. Сформулировать свойства плотности вероятности.
бытия А можно найти, если путем наблюдений определить отно-                    4. Как вычисляются математическое ожидание и дисперсия
сительную частоту появления этого события в достаточно длин-                      непрерывной случайной величины?
ной цепочке испытаний.                                                         5. Какая случайная величина называется распределенной
                                                                                  по нормальному закону?
    Центральная предельная теорема (теорема Ляпунова)                          6. Дать определение интегральной функции Лапласа. Ука-
    Пусть Х1, Х2, …, Хn, … – последовательность непрерывных                       зать ее свойства и способ практического применения.
случайных величин, равных друг другу (Хi = Хj) с характеристи-                 7. Дать определение независимости случайных величин.
ками М(Х) = а, D(Х) = σ 2 (А.М. Ляпунов дал некоторые, до-                     8. Как определяется коэффициент корреляции. Объяснить
вольно общие условия, при которых Хi могут быть и не равны                        его теоретико-вероятностный смысл. Указать свойства
друг другу). Тогда сумма этих случайных величин асимптотиче-                      коэффициента корреляции.
ски нормальна:                                                                 9. Что называется законом распределения двумерной слу-
                                                                     р            чайной величины?
    если Yn = X 1 + X 2 + ... + Х n , то (Yn − an) / nσ 2 → N (0, 1) .
                                                                   n→∞
Эта теорема еще раз показывает важность для практических
приложений изучения нормально распределенных случайных
величин.
     Следствие. На основе центральной предельной теоремы
строится приближенный алгоритм вычисления вероятности по-
падания в некоторый интервал ( α , β ) для биномиально распре-
деленной случайной величины Sn при больших n. Здесь
S n = S n1 + ... + S nn , причем М(Sni) = р, а σ 2 = D(Sni) = р(1 – р).


                                        39                                                                   40