Теория вероятностей и математическая статистика. Соппа М.С - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

29
Решение. Можно получить ответ без вычисления закона
распределения суммы двух случайных величин: D(Х+ Y) = 2.92 +
+2.92 = 5.84 на основании свойства 4.
Дисперсию биномиальной случайной величины так же легко
получить, пользуясь свойством 4: D (S
n
) = n p (1–p) = npq.
На практике, в прикладных исследованиях чаще использует-
ся тесно связанная с дисперсией величина
)()( XDX =σ , назы-
ваемая среднеквадратическим отклонением рассматриваемой
случайной величины. Удобство ее использования состоит в том,
что она измеряется в тех же самых единицах, что и случайная
величина Х.
Функция распределения случайной величины
Функцией распределения случайной величины Х называется
функция, определяемая и вычисляемая по формуле:
F(x) = P(X<x).
Как и закон распределения, функция распределения цели-
ком и полностью, исчерпывающим образом описывает все свой-
ства и поведение рассматриваемой случайной величины. Вычис-
лив функцию распределения или закон распределения случай-
ной величины, мы получаем полную информацию
о ней.
В качестве примера построим функцию распределения дис-
кретной случайной величины Х – значения грани, выпавшей на
кубике. Для этого проанализируем полученный для нее выше за-
кон распределения:
P({X<1}) = 0, поэтому при х ≤ 1 F(x) = 0.
P({X<2}) = 1/6, поэтому при 1<х ≤ 2 F(x) = 1/6.
P({X<3}) = 1/6 + 1/6,
поэтому при 2<х ≤ 3 F(x) = 1/3.
P({X<4}) = 1/6 + 1/6 + 1/6, поэтому при 3<х ≤ 4 F(x) = 1/2.
P({X<5}) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6, поэтому при 4< х ≤ 5
F(x) = 2/3.
P({X<6}) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6, поэтому при 5 < х ≤ 6
F(x) = 5/6.
30
P({X<t})
t>6
= 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6+ 1/6, поэтому при 6 < х
F(x) = 1.
Построим эту кусочно заданную (ступенчатую) функцию графи-
чески:
Задача. Студенту предложен тест из трех задач. Каждую из
них он может решить с вероятностью 0.4. Тестирование закан-
чивается, как только будет впервые правильно решена какая-
либо из задач. Определим дискретную случайную величину Х –
количество попыток, которые сделал студент при решении этих
задач. Требуется найти закон распределения, математическое
ожидание, дисперсию этой случайной
величины, построить ее
функцию распределения, определить вероятность того, что чис-
ло попыток будет не более двух.
Решение. Построим закон распределения, проверив кон-
трольную сумму
Х
1
2
3
р
0.4
0.24
0.36
Действительно: Х = 1: {решил первую задачу}, Р = 0.4.
Х = 2: {не решил первую, решил вторую}, Р = 0.6 · 0.4 = 0.24.
Х = 3: {не решил первую, не решил вторую, решил третью или не
решил ни одной из трех задач}, Р = 0.6 · 0.6 · 0.4 + 0.6
3
= 0.144 +
+ 0.216 = 0.36.
М(Х) = 0.4 + 0.48 + 1.08 = 1.96.
D(Х) = 0.4 + 0.96 + 3.24 – 3.8416 = 0.7584.
Построим функцию распределения:
P({X<1}) = 0, поэтому при х ≤ 1 F(x) = 0.
P({X<2}) = 0.4, поэтому при 1 < х ≤ 2 F(x) = 0.4.
F
(x)
x 
    Решение. Можно получить ответ без вычисления закона                 P({X6 = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6+ 1/6, поэтому при 6 < х
распределения суммы двух случайных величин: D(Х+ Y) = 2.92 +        F(x) = 1.
+2.92 = 5.84 на основании свойства 4.                               Построим эту кусочно заданную (ступенчатую) функцию графи-
    Дисперсию биномиальной случайной величины так же легко          чески:
получить, пользуясь свойством 4: D (Sn) = n p (1–p) = npq.
                                                                               F(x)
    На практике, в прикладных исследованиях чаще использует-
ся тесно связанная с дисперсией величина σ( X ) = D ( X ) , назы-
ваемая среднеквадратическим отклонением рассматриваемой
случайной величины. Удобство ее использования состоит в том,
что она измеряется в тех же самых единицах, что и случайная
величина Х.                                                                                                           x


          Функция распределения случайной величины                       Задача. Студенту предложен тест из трех задач. Каждую из
     Функцией распределения случайной величины Х называется         них он может решить с вероятностью 0.4. Тестирование закан-
функция, определяемая и вычисляемая по формуле:                     чивается, как только будет впервые правильно решена какая-
                          F(x) = P(X

Страницы